kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Производные высших порядков

ЛЕКЦИЯ 9. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Производная y′ = f ′(x) данной функции y = f (x) , если она существует, называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Возможно, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка, или второй производной, и обозначается так: y′′ = (y′)′, или f ′′, или .

Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, то она называется производной третьего порядка, или третьей производной, и обозначается так:

y′′′ = (y′′)′.

Производная от производной порядка (n − 1) называется производной n -го порядка и обозначается (y(n−1))′ = y(n) , или .

1.Физический смысл второй производной

Пусть S = S(t) уравнение прямолинейного движения материальной точки. Как было ранее установлено, мгновенная скорость v этого движения есть v = S′ . Если теперь эту скорость рассматривать как функцию времени, то производная от v есть ускорение a в момент t . Следовательно, a = S′′ .

Формулы некоторых производных высшего порядка

(xα)(n) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)xα−n,

α любое действительное число.

(ax)(n) = (ln a)nax,

(ex)(n) = ex.

(sin x)(n) = sin(x + n π2 ); n = 1, 2, . . .

(cos x)(n) = cos(x + n π2 ); n = 1, 2, . . .

Пример 2. Показать, что функция y = C1e−x + C2e−2x при любых постоянных C1 , C2 удовлетворяет уравнению

y′′ + 3y′ + 2y = 0.

Решение. Вычислим y′ , y′′ .

y′ = −C1e−x − 2C2e−2x , y′′ = C1e−x + 4C2e−2x.

1

Результаты подставим в данное уравнение и приведем подобные:

и т. д. Теперь зададим общую формулу для n -й производной:

y′ = cos x = sin(x + π/2),

y′′ = cos(x + π/2) = sin(x + 2π/2), y′′′ = cos(x + 2π/2) = sin(x + 3π/2),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y(n) = sin(x + nπ/2).

Найти y(n), если a3x .

Решение. Находим y′ = 3a3x ln a , y′′ = 3 ln a · a3x3 ln a = 32 ln2 a · a3x , y′′′ = 32 ln2 a · a3x 3 ln a = 33 ln3 a · a3x .

Тогда видим, что

y(n) = 3n lnn a · a3x.

2.Производные высших порядков от неявных функций и от функций, заданных параметрически

Ранее было установлено правило дифференцирования неявных функций, причем оказалось, что найденное по этому правилу выражение для производной yx′ от неявной функции будет в общем случае содержать как аргумент x, так и саму функцию y.

Так как вторая производная функции есть производная от ее первой производной, то, очевидно, что для отыскания второй производной от неявной функции надо продифференцировать уже найденную первую производную по аргументу x, продолжая рассматривать y как функцию от x. В выражение второй производной при этом войдут x, y и y′; но так как значение y′ известно, то, внося его в найденное выражение для y′′, найдем окончательное значение y′′, выраженное только через x и y.

Аналогично поступаем при отыскании y′′′, yI V и т. д.

Пример 6. arctg y − y + x = 0 . Найти y′′ .

2

Решение. Дифференцируем заданное соотношение и определяем y′ :

В предыдущих параграфах было выведено правило дифференцирования функции,

Определяемое по этой формуле значение yx′ будет снова функцией параметра t, т. к. функциями последнего являются числитель и знаменатель правой части формулы (1):

ψ′(t)

yx′ = ϕ′(t) = F (t).

Поскольку вторая производная от y по x есть первая производная от yx′ , то при отыскании y′′ вопрос снова сводится к нахождению первой производной от функции, заданной параметрически, а именно к отысканию производной по x от функции yx′ =

F (t), когда x = ϕ(t).

Отсюда, применяя вторично правило дифференцирования функции, заданной

оказывается функцией параметра t. То же будет верно и для дальнейших производных: yI V , yV и т. д.

3