kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Производная обратной функции

ЛЕКЦИЯ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ. ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНЫХ

ФУНКЦИЙ.

1.Производная обратной функции

Утверждение 1. Пусть дана функция y = f (x) для которой существует обратная функция x = f −1(y) и пусть функция y = f (x) имеет отличную от нуля производную f ′(x) в точке x. Тогда обратная функция f −1(y) также имеет производную в соответствующей точке y = f (x), и эта производная равна .

Таким образом, справедлива формула

Если x → 0, то знаменатель правой части этого равенства стремится к пределу f ′(x) =6 0, а значит существует предел от правой части этого равенства.

Следовательно, существует предел и от левой части; он и представляет собой

1

2.Производная сложнопоказательной функции

Функцию вида

y = u(x)v(x) (u(x) > 0),

где и основание, и показатель степени зависят от x, называют сложнопоказательной. Функцию uv можно представить uv = ev ln u, тогда

y′ = (uv )′ = ev ln u(v ln u)′ = uv uv u′ − v′ ln u .

2

Можно поступить иначе, предварительно прологарифмировав функцию y :

Операция, состоящая в последовательном применении к функции f (x) сначала логарифмирования, а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат

[ln f (x)]′ = f ′(x) f (x)

называется логарифмической производной от функции f (x).

Логарифмическое дифференцирование может быть применено для отыскания производных не только от функций сложнопоказательного типа. Так, например, для отыскания производной от произведения

y = 2x√x2 + 4 sin2 x

удобно применять логарифмическое дифференцирование, что позволяет быстрее найти результат. Тогда ln y = ln(2x√x2 + 4 · sin2 x).

По свойству логарифмической функции имеем

√

ln y = ln 2x + ln x2 + 4 + ln sin2 x

или

ln y = x ln 2 + 12 ln(x2 + 4) + 2 ln sin x.

Дифференцируя это тождество по x и помня, что в левой части равенства стоит сложная

Решение. Функция является сложнопоказательной. Логарифмируем обе части уравнения:

ln y = ln(ctg x)x2 = x2 ln ctg x.

3

3.Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть зависимость y от x выражена через параметр t, т. е.

x = ϕ(t),

a ≤ t ≤ b.

y = ψ(t),

Это надо понимать так. Для функции x = ϕ(t) существует обратная функция t = ϕ−1(x) , и поэтому можно записать явную зависимость

y = ψ(ϕ−1(x)).

Найдем yx′ через ψt′, ϕ′t. Дифференцируем y как сложную функцию от x. Получим

dydt = 2 cos 3t(− sin 3t)3 = −3 sin 6t,

тогда

dy

dxdy = dxdt = −t sin 6t .

dt

Пример 5. Найти производную yx′ , если x = a cos t, y = a sin t. Имеем

4

4.Производные неявных функций

Пусть y = y(x) есть неявная функция от x, т. е. функция задана некоторым уравнением F (x, y) = 0, таким, что F (x, y(x)) ≡ 0. Тогда чтобы найти производную функции y = y(x) , нужно продифференцировать по x обе части уравнения F (x, y(x)) = 0 с учетом того, что y есть функция от x.

Пример 6. Найти производную y ′, если функция y задана уравнением

y2 + x sin y = 0.

Решение. Дифференцируем уравнение по x :

2yy′ + sin y + x cos y · y′ = 0.

Отсюда выразим y′. Получим

sin y

y′ = −2y + x cos y .

Пример 7. Вычислить значение производной неявной функции xy2 = 4 в точке

M (1, 2).

5