kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Производная функций

ЛЕКЦИЯ 6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРОИЗВОДНУЮ.

1.Производная функции

Понятие производной возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение таких задач, как задача о проведении касательной к кривой или о вычислении скорости неравномерного движения и других.

1.1.Задачи, приводящие к понятию производной

1.Задача о скорости движущейся точки.

Пусть S = S(t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это равенство выражает путь S , пройденный точкой, как функцию времени t.

до t + t , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t . Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t , определив ее как

Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный момент t . 2. Задача о силе тока.

Пусть Q = f (t) количество электричества, проходящее через фиксированное сечение провода за время t . За время от t до t + t через сечение протекает количество электричества

Q = f (t + t) − f (t).

Средняя сила тока определяется Is = Qt . Предел при t → 0 дает силу тока в момент t :

Эти задачи, хоть и различны, свелись к одной математической операции, которую нужно провести над функцией. Эта операция дифференцирование функции, а ее результат производная функции.

1.2.Определение производной

Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b) , x фиксированная точка

1

Отношение (1) будем называть разностным отношением в данной точке x . Так как x фиксировано, разностное отношение представляет собой функцию аргумента x . Эта функция определена для всех значений аргумента x , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x = 0 , за исключением самой точки x = 0 . Это дает нам право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при

x → 0 .

Определение 1. Производной функции y = f (x) в данной фиксированной точке x называется предел при x → 0 разностного отношения (1) (при условии, что этот предел существует).

Производную функции y = f (x) в данной фиксированной точке x будем обозначать символом f ′(x), yx′ или y′ . Итак, по определению,

производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента x , определенную на интервале (a, b) .

Таким образом, найденная в предыдущем пункте мгновенная скорость есть производная пути по времени, т. е. v(t) = S′(t). Это есть механический смысл производной.

2

т. е. x′ = 1.

Рассуждая аналогично, можно показать, что если y = c · (u(x)), где C – const, то y′ = cu′(x), т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной (доказать самостоятельно).

√Пример 3. Исходя из определения производной, найти производную функции y = x .

Решение. Пусть x имеет приращение x ( x =6 0 ), тогда приращение функции

Итак, y′ = 1 .

2√x

На основе понятия правого (левого) предела вводится определение правой и левой производных функции y = f (x) в данной фиксированной точке x :

Для того чтобы существовала производная f ′(x) , необходимо и достаточно, чтобы существовали производные от f (x) в точке справа и слева и были равны между собой.

Пример 4. Найти левую и правую производные f (x) = |x| в точке x = 0 . Решение. Функция f (x) = |x| имеет в точке 0 правую и левую производные.

3

2.Геометрический смысл производной

Производная от функции y = f (x) имеет очень простой смысл, который тесно связан с понятием касательной к графику функции.

Рассмотрим график функции на рис. 1. Прямую M P назовем секущей.

Определение 2. Касательной к графику функции y = f (x) в точке M (x0, f (x0)) назовем предельное положение секущей M P при P → M ( x → 0 ), если оно существует.

Рис. 1

Угол α наклона касательной равен пределу угла ϕ наклона секущей при x → 0 :

α = lim ϕ.

x→0

В силу непрерывности функции тангенс имеем

Правая часть равенства (1), согласно определению 1, есть производная от данной функции y = f (x), а левая часть угловой коэффициент k = tg α касательной, тогда равенство (2) примет следующий окончательный вид:

f ′(x) = tg α.

Таким образом, геометрически производная f ′(x) при данном значении аргумента x равна тангенсу угла наклона касательной в точке M (x; y) к графику функции y = f (x).

Касательная и нормаль к графику функции

Из геометрического смысла производной следует, что если нам известно уравнение y = f (x), то мы можем аналитически решать задачи, связанные с касательной к графику функции.

Пусть касательная проходит через точку (x0, y0), где y0 = f (x0). Значение производной функции в точке x0 будем обозначать f ′(x0). Из аналитической

4

геометрии известно уравнение прямой, проходящей через заданную точку с угловым коэффициентом:

y − y0 = k(x − x0).

Следовательно, уравнение касательной примет вид

y − y0 = f ′(x0)(x − x0).

Дадим определение нормали к графику функции.

Определение 3. Нормалью к графику функции в точке M называется прямая M N , проходящая через точку M и перпендикулярная к касательной в той же точке.

Так как нормаль к графику функции проходит через точку M (x0 , y0) перпендикулярно касательной, то ее угловой коэффициент k = −f ′ (1x0) . Тогда уравнение нормали примет вид

1

y − y0 = −f ′(x0) (x − x0).

4

Аналогично, в уравнение нормали y = f (x0) − f ′ (1x0) (x −x0), получим y = 2 −4(x −4),

т. е. y = −4x + 18.

3.Непрерывность функций, имеющих производную

Утверждение 1. Если функция f (x) имеет производную в точке x , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. То, что f (x) имеет производную в точке x , означает, что

существует конечный предел lim y = f ′(x) . По свойствам пределов:

x→0 x

xy = f ′(x) + α(Δx),

причем α(Δx) → 0 при x → 0 . Тогда

y = f ′(x)Δx + α(Δx)Δx.

Отсюда следует lim y = 0 . Это утверждение означает непрерывность f (x) в точке x.

x→0

Замечание 1. Утверждение, обратное утверждению теоремы 1, несправедливо, т. е. из непрерывности функции y = f (x) в данной точке x , вообще говоря, не вытекает существование производной f (x) в этой точке.

5

Примером может служить функция y = |x| , которая непрерывна в точке x = 0 , но не имеет в этой точке производной, а в остальных точках производная от |x| существует и равна

Рис. 2

Отметим, что график функции y = |x| в точке x = 0 не имеет касательной.

√

Задача. Показать, что функция y = 3 x, непрерывная для всех значений x, в точке x = 0 производной не имеет.

6