Тема 5. Исследование поведения функции с помощью производных
Экстремум функции
5.1. Определить интервалы монотонности и исследовать на экстремум функции.
1)
; 2)
3)
; 4)
.
Наибольшее и наименьшее значения функции
5.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
-
на
отрезке [0;2]; 2)
на отрезке [-3;0];
3)
на отрезке
;
4)
на отрезке
.
Интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций
5.3. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Асимптоты графиков функций
5.4. Найти все асимптоты графиков функций.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Исследование функции и построение графика
5.5. Провести полное исследование поведения функции и построить график.
-
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
5.6.
Постройте на отрезке [0;6] график функции
,
если:
Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Тема 1. Функции двух переменных
Область определения функции двух переменных
1.1. Найти значения функции при заданных значениях аргументов.
1)
,
,
;
2)
,
,
;
3)
;
,
.
1.2. Найти и построить область определения функции двух переменных.
1)
;
2)
;
3)
Частные и полное приращения
1.3.
Дана функция
.
Найти
частные приращения при переходе от
точки
соответственно к точкам
,
.
Найти
полное приращение при переходе от точки
к точке
.
Линии уровня
1.4.
Построить
линии уровня функции двух переменных
при заданных значениях
.
1)
,
;
2)
,
;
3)
,
.
Частные производные первого порядка
1.5. Найти частные производные 1-го порядка функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
1.6. Вычислить значения частных производных функции в точке.
1)
,
;
2)
,
.
Полный дифференциал и полное приращение функции
1.7.
Найти полный
дифференциал и вычислить его в точке
.
1)
;
2)
.
1.8. Вычислить приближенно выражение, заменяя приращение функции дифференциалом.
1)
;
2)
.
Градиент функции
1.9.
Найти градиент
функции:
1)
2)
3)
1.10.
Построить линии уровня и
в точке А(1;2) для функций:
1)
; 2)
;
3)
.
Частные производные и дифференциалы второго порядка
1.11. Найти частные производные второго порядка. Убедиться в равенстве смешанных частных производных.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
1.12.
Найти
дифференциал второго порядка
для функций.
1)
;
2)
;
3)
.
Тема 2. Экстремум функции двух переменных (безусловный и условный)
Безусловный экстремум функции
2.1.
Найти экстремум функции двух переменных
.
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
.
Условный экстремум функции
2.2. Найти условный экстремум функции, применяя метод подстановки.
-
,
если
;
-
,
если
;
-
,
если
.
Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области
3.1.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в области.
1)
функция
,
границы области {
,
,
};
2)
функция
область решений неравенств
3)
функция
,
границы области {
,
,
}.
3.2.
Найти
наибольшее и наименьшее значения
линейной
функции
в области, заданной системой линейных
неравенств.
1)
функция
,
область {
,
,
};
2)
функция
область
3)
функция
область
