Толстых-Уравнматем-физики

t t 0

Дать механическое истолкование задачи.

a

а V – решение волнового уравнения, удовлетворяющее условиям

6. Пусть u(x, t) – перемещение сечения однородного цилиндрического стержня с абсциссой x в момент времени t. Растягивающее напряжение

Н в сечении х: H Es u , Е – модуль упругости материала, s – площадь

x

поперечного сечения стержня. Показать, что функция u(x, t) удовлетворяет уравнению:

где плотность материала стержня. Один конец стержня длины l закреплен, на другой действует растягивающая сила Н. Найти закон продольных колебаний стержня, если при t = 0 сила Н не действует.

41

Указание. Решение u(x, t) удовлетворяет краевым условиям u(0, t) = 0

5. Уравнение электрических колебаний в проводах

Как указывалось выше, процесс колебаний в проводах приводит к уравнению типа (4.1). Покажем это.

Электрический ток характеризуется силой тока I(x, t) и напряжением V(x, t), зависящим от времени t и координаты х точки провода.

Падение напряжения на участке провода длины x, равное

V x,t V x x,t V x,

x

складывается из омического IR x и индуктивного I L x, где R, L –

t

сопротивление и коэффициент индуктивности на единицу длины провода:

V x IR x I L x.

x t

Знак минус объясняется тем, что ток течет в направлении, обратном возрастанию напряжения V . Сокращая равенство на x, получаем

I x,t I x x,t t I x t ,

x

расходуется на зарядку элемента C x V t и на утечку через боковую

t

поверхность провода, вследствие несовершенства изоляции AV x t , где

Семкость, А коэффициент утечки:

I x t C x V t AV x t.

x t

42

Сокращая равенство на x t , получаем

Уравнения (5.1), (5.2) носят название телеграфных уравнений.

Из системы этих уравнений можно получить уравнение относительно искомой функции I x,t :

Для этого нужно продифференцировать уравнение (5.2) по х и вычесть из полученного уравнения уравнение (5.1), продифференцированное по t и умноженное на С. Если в последнее уравнение подставим

выражение V из (5.1), то получим (предлагаем проделать выкладки

x

Вычитая из первого равенства второе, умноженное на L, получим:

43

После приведения в этом уравнении подобных, убеждаемся в справедливости (5.4).

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию A 0 и сопротивлением (R = 0), то уравнения (5.3), (5.4) переходят в волновые уравнения:

где a2 1 .

CL

Краевые условия формулируют, исходя из физических условий.

6.Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера

6.1.Формула Даламбера

Если струна очень длинная, то на колебания, возникающие где-то в ее середине, концы струны будут оказывать малое влияние. Таким образом, рассматривая свободные колебания неограниченной струны, мы должны решить волновое уравнение

только при начальных условиях

то есть задачу Коши (6.1), (6.2).

44

Для решения задачи Коши введем новые переменные, так называемые

характеристики:

Интегрируя это уравнение по , получим u c . Тогда

u c d .

Итак, общее решение уравнения (6.4) имеет вид:

u ,

где , произвольные дважды дифференцируемые функции. Возвращаясь к старым переменным, получаем решение (6.1) в виде

так называемого решения Даламбера:

Используя начальные условия (6.2), найдем функции , :

45

где с – произвольная постоянная. Складывая и вычитая уравнения (6.6), (6.8), получаем

Используя (6.9), запишем:

Используем свойства определенных интегралов:

x at

46

6.2. Физическая интерпретация решения

Рассмотрим частный случай, когда начальные скорости точек струны F x 0. Тогда решение принимает вид:

скоростью а, то есть абсцисса положения наблюдателя меняется по закону x x0 at, при этом для наблюдателя профиль струны будет оставаться

Даламбера это слагаемое дает прямую волну, которая распространяется в положительном направлении оси Ох со скоростью а.

Аналогично, второе слагаемое f x at описывает обратную волну, которая распространяется со скоростью а в отрицательном направлении оси Ох.

Скорость распространения поперечных колебаний a H прямо

пропорциональна корню квадратному из натяжения H и обратно пропорциональна корню квадратному из линейной плотности струны.

Решение (6.11) является средним арифметическим прямой и обратной волн, движущихся независимо в противоположных направлениях. Графически решение может быть получено следующим образом: построим два одинаковых экземпляра функции u x,0 f x и вообразим, что они налегают друг на друга, а затем раздвигаются в обе стороны со скоростью а. График, задающий форму струны в момент времени t, будет делить пополам отрезки ординат между раздвинутыми графиками.

Задача 6.1. Требуется рассмотреть распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника.

Эта форма получается, если оттянуть бесконечную струну в середине отрезка c;c и придерживать ее на концах отрезка (рис. 7). Начальные скорости точек струны отсутствуют. Изобразить положение струны в

47

Решение. В начальный момент прямая и обратная волны совпадают, имея значение f x . За время t графики переместятся влево и вправо на at

без деформации. Складывая перемещенные графики прямой и обратной волн в различные моменты времени и деля ординаты пополам, получим профиль струны в эти моменты времени (рис. 7).

Заметим, что в начальный момент времени

Аналитическое решение по формуле Даламбера в этом случае имеет вид:

семейства параллельных прямых при различных значениях постоянных, на фазовой плоскости x, t. Изобразим их на плоскости (рис. 8) и выясним физический смысл.

Проведем характеристики через концы отрезка – с, с. Прямые x = at c, x = at + c представляют задний и передний фронты прямой волны f(x at), а прямые x = at + c, x = at c – обратной волны f(x + at).

Эти прямые разбивают фазовую плоскость на следующие области:

I, V, III – отсутствие волн; IV, VI – существование обратной и прямой волн, соответственно; II – сосуществование обеих волн. Можно сказать, что возмущения распространяются по характеристикам.

Задача 6.2. Методом Даламбера найти уравнение u u x,t формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением

точек струны определяются, соответственно, функциями:

48

Решение. Пользуясь методом Даламбера, решение поставленной задачи ищем по формуле (6.10):

u x,t 1 x t 2 x t 2 x2 t2. 2

Ответ: u x,t x2 t2 .

Задача 6.4. Найти форму бесконечной струны в момент времени

Решение. Требуется найти решение уравнения ut"2 a2u"x2 в момент

t при заданных начальных условиях. По формуле Даламбера (6.10) 2a

50