Толстых-Уравнматем-физики

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Иркутский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

громкость второго обертона, а частота в 3 раза меньше. При с

второй обертон отсутствует k3max 0 .

.pdf

Скачиваний:

191

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

5.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

16h

cos

16h

cos0 cos n

16h

1 1 n

3n3

32h

3n3

c2k 0,

c2k 1

k 1,2,...

3 2k 1 3

Таким образом, закон колебаний струны определяется рядом

u x,t	32h		1			2k 1 at		2k 1 x
					cos		sin		.
	3			3
		k 1	2k 1			l		l

4.2. Интерпретация метода Фурье. Основной тон колебаний

Формула (4.8) дает решение, записанное в виде ряда. Его первый член

a t

u x,t c

cos

d sin

sin

называется основным тоном колебания. Если бы остальные члены ряда отсутствовали, то струна (рис. 3) в любой момент времени имела бы форму синусоиды. Величина коэффициента k1 меняется со временем, и его

максимальное значение k	c2	d2	называется амплитудой
1max	1	1

основного тона колебания. Каждая точка струны колеблется с частотой

v	a	колебаний в единицу времени, круговая частота	2 v	a	.
	2l
1		1	1	l

Рис. 3

Второй член ряда (4.8) называется первым, третий – вторым обертоном колебаний и так далее, которые характеризуются своими

амплитудой knmax и частотой vn an. 2l

Решение (4.8) представляет разложение сложного колебания на ряд синусоидальных (стоячих) волн. В стоячем колебании амплитуда характеризует громкость, а частота – высоту звука. Основной тон звучит громче обертонов.

Задача 4.3. Однородная струна длиной l натянута между точками x 0, x l. В точке x c струна оттягивается на небольшое расстояние h от положения равновесия (рис. 4) и отпускается без начальной скорости в момент времени t = 0. Требуется определить отклонение струны в любой момент времени. Указать основной тон колебаний и сравнить со вторым обертоном.

Рис. 4

Решение. Надо решить краевую задачу

u 0,t u l,t 0,

t 0

0 x c,

u x,0 c

h l x

c x l.

l c

Как и в предыдущей задаче, из формул (4.9), (4.10) при заданных

начальных условиях получаем:

dn F x 0 0,

n 1,2,...

2 l

f x sin

dx,

n 1,2,...

2 c hx

l h l x

sin

dx .

l c

l 0 c

Интегрируя по частям, получим

udv uv

vdu

cos

sin

l l x

cos

sin

l c

сn

cos

sin

2h l(l c)

cos

sin

l c

2n2

2hl

sin

сn

2hl2

sin

n 1,2,...

2n2c l c

Искомый закон колебаний струны

u x,t

2hl

a nt

sin

cos

sin

c l c n 1 n

Основной тон колебаний

2hl2

sin

cos

sin

k sin

2c l c

Амплитуда и частота основного тона

2hl

sin

2c l c

Второй обертон

1max

2hl2

sin

3 c

cos

3 at

sin

3 x

9 2c l c

Амплитуда и частота второго обертона

k3max

2hl2

3 c

, v3

sin

9 2c l c

9sin

1max

3 c

k3max

sin

k1max

k3max

3 4sin2

то есть громкость основного тона более чем в 3 раза превосходит

Упражнение. Решить задачу 4.3 при l = 1 м, с l , a = 100 м/c.

4.3. Решение волнового уравнения при ненулевых граничных условиях

Аналогично решается волновое уравнение при других граничных условиях.

Пусть требуется решить уравнение (4.1) при начальных условиях (4.3) и граничных условиях

u 0,t A,

u l,t B.

(4.11)

Решение следует искать в виде:

u x,t u* x,t V x,t ,

где u* x,t – любая функция, удовлетворяющая уравнению (4.1) и граничным условиям (4.11), а функция V x,t является решением задачи типа (4.1) – (4.3):

2V	a2	2V	,	V 0,t 0,	V l,t 0,
t2		x2

V(x,0) f (x) u

(x,0),

F(x)

t 0

(см. (4.8) – (4.10));

B A

u* x,t A

u x,t A

B A

a nt

x cn cos

dn sin

sin

n 1

2 l

B A

f x A

x sin

l 0

A B 1 n 1 ,

f x sin

F x sin

dx,

n 1,2,... .

a n

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Отметим, что многие задачи, решаемые на железнодорожном транспорте, приводят к волновому уравнению (см., например, [5]). Если поезд моделировать в виде упругого однородного стержня, то продольные колебания поезда при трогании состава с места, а также при мгновенном приложении силы тяги в движущемся поезде с выбранными зазорами в автосцепках, приводят к рассмотренному уравнению колебаний струны, при решении которого наряду с методом Фурье применяется метод Даламбера (см. п. 6).

При рассмотрении колебаний кузова вагона возникают уравнения другого вида. Кузов вагона в первом приближении можно рассматривать, как однородный упругий стержень с постоянным сечением и равномерно распределенной массой, лежащий на двух опорах. Поперечные колебания кузова тогда можно описать уравнением

2u	a2	4u	0,
t2		x4

которое может быть решено методом Фурье: u x,t X x T t (см. [5]). Обычно рассчитывают основной тон колебаний, показывают каких частот, воздействующих на кузов вагона, следует избегать. В частности, механизмы для вибронагрузки вагонов, создающие возмущения с частотой близкой к основному тону и первому обертону колебаний, будут

приводить к повышенной вибрации вагона, вызывая явления близкие к резонансу. Здесь возникает необходимость вывести частоты вибраций вагона за порог неприятных для человека и не опасных для вагона и оборудования.

4.4. Решение волнового уравнения с одним граничным условием

Задача 4.4. Проинтегрировать уравнение малых продольных

колебаний однородного стержня

0 x l

при условии, что конец x = 0

закреплен, а x = l – свободен.

Решение. К уравнению

применим метод разделения

переменных:

a2T

u x,t X x T t , T X

X T

(const < 0, объясните, почему ?);

T a2 2T 0 T Acosa t Bsina t;

X 2 X 0 X Ccos x Dsin x.

По граничным условиям задачи:

1) u 0,t X 0

C 0.

X l

Dcos l 0,

D 0

x l

2n 1

cos l 0, l

n 0,1,2,...

Искомое решение:

a 2n 1t

2n 1x

u x,t

an cos

bn sin

sin

(4.15)

n 0

Пусть заданы начальные условия

u x,0 f x ,

F x .

t 0

Тогда

2n 1 x

f x an sin

n 0

a 2n 1

2n 1 x

F x bn

sin

n 0

откуда (если функции f x и F x разложимы в ряд Фурье):

2 l

2n 1 x

f x sin

dx,

(4.16)

2n 1 x

F x sin

dx,

(4.17)

a 2n 1

n 0,1,2,...

Задача 4.5. Упругий стержень 0 x l расположен вертикально и верхним концом x = 0 жестко прикреплен к свободно падающему лифту, который, достигнув скорости v0, мгновенно останавливается. Найти решение уравнения продольных колебаний стержня, если его нижний конец x = l свободен.

Решение. Пусть u x,t – закон движения точек стержня в любой момент времени t. В начальный момент t = 0 стержню, свободно падающему вместе с лифтом, придано ускорение g 9.8 м/сек2.

Следовательно, ускорение определяется равенством:

	2u		a2		2u	g.
			a2		x2	g.
	t2				x2
Граничные условия: u 0,t 0,		u			0.
		u
		x
				x l
				x l
Начальные условия: u x,0 0,		u			v0.
		u
		t
				t 0
				t 0

Искомая функция удовлетворяет неоднородному уравнению, решение которого следует искать в виде u V W . Функция V V x,t – решение краевой задачи (см. задачу 4.4):

			2V	a2		2V	,
			t2	a2		x2	,
			t2			x2
V 0,t 0,	V		0,		V x,0 0,			V	v .
	V							V

	x							t	0
		x l							t 0
		x l							t 0

По формулам (4.15) – (4.17) получаем решение V .

an f x 0 0,

n 0,1, 2,...

a 2n 1) t

2n 1 x

V x,t bn sin

sin

n 0

2n 1 x

v0 sin

a 2n 1

2n 1 x

4v0

cos

a 2n 1

2n 1

8v0l

n 0,1,2,...

a 2 2n 1 2

Итак, поставленная задача имеет решение:

V x,t

8v0l

a 2n 1 t

2n 1 x

sin

n 0 2n 1

Функция W W x,t решение задачи

2W a2 2W g,t2 x2

W 0,t 0,	W		0, W x,0 0,	W	0.
	x			t
		x l			t 0

Например, W x,t gt2 .

Таким образом, решение исходной задачи:

u x,t

8v0l

a 2n 1 t

2n 1 x

sin

n 0

2n 1

Задачи для самостоятельного решения

1.Однородная струна длиной l, закрепленная в обоих концах, находится в прямолинейном положении равновесия. В некоторый момент времени, принимаемый за начальный, она получает в точке x c удар от

молоточка шириной , который сообщает этой точке постоянную h

скорость v0, то есть


	u		v0,		x c		,
					x c	2h	,



	t
		t 0		0,	x c		.


						2h

Найти отклонение u(x, t) струны в любой момент времени.

2. Однородная струна длиной l закреплена в конце x = 0, а к другому ее концу прикреплено кольцо, массой которого можно пренебречь. Кольцо может скользить по гладкому стержню; оно отклонено на малое

расстояние h от положения равновесия				и в момент t 0	отпущено.
Найти	отклонение	струны	от	положения	равновесия
(см. рис. 5).

Рис. 5

Указание. Задача приводится к решению уравнения:

при условиях

u 0,t 0,

0, u x,0

x l

t 0

Воспользуйтесь решением задачи 4.4.

3. Методом Фурье найти решение волнового уравнения

при

следующих краевых условиях:

а) a 1, u 0,t u 1,t 0, u x,0 x x 1,

t 0

б) a 1, u 0,t u 3,t 0, u x,0 x x 3,

t 0

в) a 2, u 0,t u 4,t 0,

u x,0 0,

sin

;

t 0

г) a 2, u 0,t u 2,t 0, u x,0 0,

t 0

4.Однородная струна длиной l=1 м закреплена в обоих концах.

Вначальный момент времени струне

придают форму u x,0 ex и отпускают без

начальной скорости:	u	0.
	t
		t 0

Найти отклонение струны от положения
равновесия (рис. 6).
Указание. Задача имеет вид (4.1), (4.11).			Рис. 6
(4.3). Решение проводится согласно формулам
(4.12), (4.13), (4.14).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019887.81 Кб83ТМА Ковалёв.doc
#
13.08.20191.35 Mб20ТМАПР.DOC
#
04.06.201547.83 Кб68ТНУ 2.docx
#
01.05.2025343.19 Кб4ТОАТ 2014 Курсовая работа.docx
#
17.11.2019111.62 Кб18ТОКБ-TCSEC.doc
#
27.03.20165.07 Mб191Толстых-Уравнматем-физики.pdf
#
04.06.20152.11 Mб227тормозное оборудование.doc
#
04.06.2015610.29 Кб1908Транспортная безопасность.pdf
#
04.06.201573.27 Кб69транспортное право.docx
#
04.06.2015152.96 Кб19трехфазные цепи.docx
#
01.03.20251.37 Mб8Трл.doc