Толстых-Уравнматем-физики

0 < 1, 2, 3, 4 < 1.

Складывая значения u(D), u(B), u(C), u(E), получаем:

u(D) + u(B) + u(C) + u(E) = 4u(A) + 2h2 u + о(h4),

откуда получается вторая основная конечно-разностная форма оператора Лапласа:

Откидывая в уравнении (13.7) остаточный член о(h2), получаем, что уравнение Лапласа можно заменить конечно-разностным уравнением

101

13.2. Суть метода сеток. Точность метода

сетки (i, k) (рис. 17). Приближенное значение искомой функции в узле (i, k): u(ih, kh)=uik,

i= 1,n, k =1,m.

2 . На основании граничного условия (13.2) устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах сеточной области, равные значению искомой функции в ближайшей точке контура Г.

3 . Дифференциальное уравнение (13.1) заменяем конечно-разностным в каждом внутреннем узле по одной из рассмотренных схем.

Первая основная схема (рис. 15 и 18). Значение функции в

центре квадрата равно среднему арифметическому значений функции в серединах сторон (ср. (13.5)):

102

Вторая основная схема (рис. 16 и 19). Значение функции в центре квадрата равно среднему арифметическому значений функции в углах квадрата (ср. (13.8)):

Решая полученную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений одним из известных методов, например, методом Гаусса или Зейделя, которые легко реализуются на ЭВМ, находим приближенное численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Заметим, что выбор сеточной области производится в зависимости от конкретной задачи, но так, чтобы контур сеточной области Dh возможно лучше аппроксимировал границу Г. Мы рассмотрели наиболее простой вид сеточной области. В принципе можно брать сеточную область, состоящую не только из квадратов, но и из прямоугольных, треугольных и других клеток.

Погрешность, получаемая в методе сеток, складывается из трех погрешностей разной природы:

1)погрешность, возникающая из-за замены дифференциального уравнения разностным;

2)погрешность, связанная с переносом граничных условий с Г на Гh;

3)погрешность приближенных вычислений.

103

Для оценки погрешности затруднительно пользоваться формулами (13.6) и (13.9), однако они показывают, что погрешность метода сеток

Как правило, чтобы получить решение с заданной степенью точности, задачу решают грубо при крупной сетке, а затем переходят к более мелкой. Можно показать, что метод сеток является сходящимся, то есть, сгущая сетку, можно получить решение краевой задачи сколь угодно точно. Практически оправдан, хотя и не доказан строго, следующий прием

Решение. Стационарное распределение температуры удовлетворяет задаче Дирихле для уравнения Лапласа. Найдем его методом сеток.

1 этап. Считаем значения функции u(x, y) в граничных узлах сетки (рис. 20) и записываем значения функции в узлах (таблица 13.1).

Таблица 13.1

Рис. 20

104

2 этап. Для внутренних узлов сетки записываем систему разностных уравнений по основным схемам (рис. 18, 19), по формулам (13.10), (13.11):

3 этап. Точность каждой схемы порядка h2 (h = 0,1), поэтому решение этих систем следует искать с тремя знаками после запятой. Решения этих систем, полученные методом Гаусса (они совпадают, но не всегда), записаны в таблице 13.2.

4 этап. Уменьшим шаг в два раза и повторим этапы 1 и 2. Предлагаем выполнить их самостоятельно (решение см. в таблице 13.3).

Сравнивая решения при соответствующих x, y в таблицах 13.2 и 13.3 (выделены), видим, что погрешность Rh =0. Таким образом, при совпадении решения задачи Дирихле в обеих основных схемах, можно говорить о численном решении задачи Дирихле по машинному нулю (точном решении).

105

Задача 13.2. Решить задачу 13.1 при одном измененном условии

u(0.3, y) = 10 y2+0,3.

Решение. Для сетки с h = 0,1 таблица значений искомой функции дана в таблице 13.4.

Таблица 13.4

Решение систем по основным схемам записано в таблицах 13.5 и 13.6.

Сравнивая таблицы 13.5 и 13.6, можно сказать, что решение найдено с точностью = 0,1. Решение при шаге h = 0,05 записано в таблице 13.7. Оно найдено методом итераций с использованием обеих схем (на каждом последующем шаге значение, ранее найденное по первой схеме ,

ищется по второй схеме , и наоборот).

106

Таблица 13.7

Оценим погрешность (ср. таблицы 13.6, 13.7 и 13.5, 13.7)

Итак, решение (таблица 13.7) задачи Дирихле для уравнения Лапласа найдено с погрешностью Rh< 0,01.

Задача 13.3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в

квадрате 0 x, y a при граничных условиях: u(x,0)=sin x , u(x,a) = a

= u(0,y) = u(a,y) = 0 с шагом h = 0,25a и сравнить с точным.

Решение. Точное решение поставленной задачи имеет вид:

107

(ср. задачу 12.5 при a b). Значения в узлах сетки (рис. 21) приведены в таблице 13.8.

Таблица 13.8

Последняя система получена с учетом симметрии решения относительно прямой х = 0,5а, то есть u31 = u11 и т.д. Решение представлено в таблице 13.9.

Таблица 13.9

108

Абсолютная и относительная погрешность представлена в таблицах

13.10 и 13.11.

Относительная погрешность результата при h = 0,25a достигает 9,8 %. Заметим, что при сетке с размером h = 0,125a эта погрешность уменьшается до 2,5 %.

14. Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности методом сеток

Напомним формулировку краевой задачи для уравнения теплопроводности.

то есть требуется найти решение u(x, t) в прямоугольнике, ограниченном прямыми x = 0, x = l, t = 0, t = T, если заданы значения искомой функции на трех сторонах (рис. 22).

В уравнении (14.1) заменим частные производные конечными разностями (см.

Рис. 22 рис. 23):

109

Покроем рассматриваемую область (рис. 22) сеткой, образованной прямыми x = ih, i =1,n, t = k , k =1,m; значения решения в узлах u(ih, k ) = = uik (см. рис. 24) определим приближенно.

то есть, если известны три значения в каждом ряду: uik , ui 1,k , ui 1,k , то определяется значение решения ui,k 1 в (k + 1)-ом ряду.

110