Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Иркутский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Толстых-Уравнматем-физики

.pdf

Скачиваний:

191

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

5.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

	x		nx
u x,0 A 1		bn sin		,
			a
	a	n 1

то есть bn – коэффициенты Фурье заданной непрерывной функции на [0; a]:

12.8 2Aa

dx udv uv

vdu

sin

n 1,2,...

Искомая функция имеет вид:

u x, y	2A		1		nx	e	ny
				sin			a	.

		n 1 n			a

Задача 12.3. В условиях предыдущей задачи функция u x, y имеет разрыв при x 0, y 0. Если функция u x, y задает стационарное распределение температуры в полосе 0 x a, то ее следует считать непрерывной функцией, удовлетворяющей условиям:

	x				u
u x,0 A 1		,	u x, 0,	u a, y 0,		0.	(12.6 )

	a				x	x 0

Решить поставленную задачу.

Заметим,

что

условие

означает,

что

искомое

x 0

распределение температуры u(x,

есть непрерывная функция

в точке

х = 0, то есть u(0, a) = A.

Решение.

Как

и в задаче

12.2, искомое решение имеет вид

u x, y cos x sin x e y. Используем граничные условия:

asin x cos x e y,

0 e y 0.

x 0

u a, y 0 cos a e y

cos a 0

(2n 1)

n 0,1,2,...

Тогда решение имеет (ср. (12.7)) вид:

2n 1 x

2n 1 y

u x, y an cos

(12.7 )

n 0

2n 1 x

u x,0 an cos

f x .

n 0

Если функция f(x) кусочно-монотонна и

ограничена на [0;

a], то

an – коэффициенты Фурье функции f(x).

2 a

2n 1 x

f x cos

dx,

n 0,1,2,...

(12.8 )

В условиях (12.6 ) коэффициенты Фурье

2Aa

2n 1 x

cos

2 2n 1 2

Ответ: стационарное распределение температуры в полосе

u x, y

2n 1 x

2n 1 y

cos

n 0

2n 1

	12.3. Задача Дирихле в прямоугольнике
Найти решение уравнения Лапласа (12.1) u 0			в прямоугольнике
0 x a,	0 y b, удовлетворяющее граничным условиям:
	u x,0 1 x ,	u x,b 2 x ,	(12.11)
	u 0, y 1 y ,	u a,y 2 y .	(12.12)

Решение следует искать в виде u u1 u2, u1 решение задачи (12.1), (12.11), (12.13):

u 0, y 0,

u a, y 0,

(12.13)

u2 решение задачи (12.1), (12.12), (12.14):

u x,0 0,

u x,b 0,

(12.14)

то есть u1 – решение задачи Дирихле в полосе 0 x a, а u2 – решение задачи Дирихле в полосе 0 y b.

Решение каждой задачи ищем методом Фурье. Например, u1 X1 Y1. Как и в п. 12.1, можно показать, что

X	1	Acos x Bsin x, Y Ce y De y, 0,				0 y b.
	1	1
		u1 0, y 0 X1 0 0 A,
u1 a, y 0 X1 a 0 Bsin a,					B 0 sin a 0
		a n n	n	,	n 1,2,...
		a n n		,	n 1,2,...
			a

Тогда функция u1 x, y ищется по формулам (12.15), (12.16):

u x, y

1 e

sin

(12.15)

n 1

1) u x,0 x

1 sin

n 1

2) u1(x,b) 2(x) cn e

n 1

nb		dn1 e	nb		nx
	a		a	sin		.

					a

Умножая первое из условий на e

и вычитая из второго, получим

2 x 1

x e

2sh

dn1 sin

n 1

chx

shx

Умножая первое условие на e

и вычитая из него второе, получим

1 x e

2 x 2sh

сn1 sin

n 1

Откуда сn1 , dn1 коэффициенты Фурье соответствующих функций:

a b

b a

сn1

dn1

2sh

2 a

x sin

dx,

x sin

dx,

n 1, 2, ...

Аналогично, функция u2 x, y ищется по формулам (12.17), (12.18):

u2(x, y)

b sin

n 1

b b

cn2

dn2

2sh

(12.16)

(12.17)

(12.18)

	2b		ny			2b		ny
an		1 y sin		dy,	bn		2 y sin		dy,	n 1,2,...
an	b	1 y sin	b	dy,	bn	b	2 y sin	b	dy,	n 1,2,...
		0					0

Задача 12.4. Найти решение уравнения Лапласа (12.1) в прямоугольнике 0 x a, 0 y b, удовлетворяющее условиям:

u x,0 1 x 0, u x,b 2 x 0,

u 0, y 1 y Ay b y , u a, y 2 y 0.

Решение. Ищем решение в виде (12.17), (12.18).

b 0,

y b y sin

dy udv uv

vdu ,

4Ab2 1 1 n ,

n 1,2,...

a2k 0,

a2k 1

8Ab2

, k 0,1,2,...

3 2k 1 3

2k 1 a

c2k 1 a2k 1

, d2k 1 a2k 1

2sh

2k 1 a

2sh

2k 1 a

2k 1 a x

2k 1 y

sin

2k 1

u x, y

2sh

1 a

k 0

Ответ: решение уравнения Лапласа в прямоугольнике

2k 1 a x

2k 1 y

8Ab

sin

u x, y

2k 1 a

k 0

Задача 12.5. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа (12.1) в

прямоугольнике 0 x a,

0 y b при граничных условиях:

u x,0 x sin

u x,b

x 0,

u 0, y

y b y

u a, y

y 0.

Решение. Решение ищем

в виде

u u1

u2,

где u1 u1 x, y

решение задачи:

u 0, u x,0 sin

u x,b 0,

u 0, y u a, y 0.

12.15

u x, y

e a

sin

n 1

u1 x,0 sin

cn dn sin

n 1

u1 x,b 0 cne

n 1

nb			nb		nx
	a	dne	a	sin		.

					a

sin

dne

cne

cn dn 0,

nx	0,	n 1,
	dx
a		n 1,
	1,
n 1,2,...

n 2,3, ...

πb

c d 1,

c e a d e a

e a

(ср. (12.16)),

2sh

b y

u x, y

sin

2sh

Стало быть, функция u1 x, y имеет вид:

	sh	b y		sin	x
	sh			sin	a
u x, y		a			a	.
u x, y						.
1		sh	b
			b

u2 x, y , см. задачу 12.4 при A

Таким образом, искомое решение задачи Дирихле:

b y

sin

2k 1 a x

u x, y

k 0

2k 1a

1 b2 .

sin 2k 1 y

	b	.
	2k 13	.
	2k 13

Задачи для самостоятельного решения

1.Найти стационарное распределение температуры в полуплоскости y 0,

принимающее при y 0 граничные значения: u 1 при x 0 и u 2 при x 0.

Ответ: u x, y 2 1 2 arctg y.

2.Определить функцию u x, y , гармоническую внутри прямоугольника 0 x a, 0 y b, удовлетворяющую условиям:

		u x,0 u ,		u x,b u		,	u	0.
		u x,0 u ,		u x,b u		,	x	0.
	1				2		x	x 0
		u2 u1 y						x a
Ответ: u u		u2 u1 y	.
Ответ: u u			.
1		b
		b

3. Найти функцию u, гармоническую внутри слоя, ограниченного

плоскостями z 0, z h, если u		z 0 u1,	u		z h u2.

Указание. Решение зависит только от переменной z. Решить уравнение uz2 0.

Ответ: u u1 u2 u1 z. h

4.Найти емкость плоского конденсатора, рассчитанную на единицу площади обкладок, если между обкладками конденсатора находится диэлектрик с диэлектрической постоянной . Рассмотреть два случая:

а)

б)

сonst,

0 z h.

1, 0 z h1,

2, h1 z h.

Ответ: c 4 h2 .

Ответ: c		1			.


	4 h	1	h h

		2		1

Указание. Емкость конденсатора вычисляется по формуле

c			u	, где u u z – потенциал электрического поля

4 z z 0

с условиями: z2 0, u z 0 1, u z h 0;

в случае б) u u1 u2, u1

z 0

z h 0,

u h

h ,

при z h .

1 1

1 z

2 z

Доказать, что

функция

u x, y e y sinx есть

решение уравнения

Лапласа в квадрате 0 x,

y 1, удовлетворяющее условиям:

u 0, y 0,

u(1, y) e y sin1,

u x,0 sinx,

u x,1 e 1 sinx.

Найти функцию, гармоническую в полосе 0 y b,

x 0,

удовлетворяющую условиям:

u x,0 u x,b u , y Ay b y .

13. Решение плоской задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей (сеток)

При рассмотрении обыкновенных дифференциальных уравнений, в связи с тем, что не всегда возможно нахождение решения точными аналитическими методами, возникла необходимость в численных методах решения. К тому же дифференциальное уравнение, полученное на практике, как правило, приближенно описывает реальный процесс. Поэтому вопрос о точном его решении ставить нет смысла. Подобная ситуация складывается и при рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных: точные аналитические методы решения не всегда возможны, нахождение решений в виде ряда (метод Фурье) также часто затруднительно. Поэтому возникает задача о численных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных. Здесь мы предлагаем вниманию читателя метод сеток.

13.1. Конечно-разностная форма оператора Лапласа. Первая и вторая основные схемы

Пусть требуется найти приближенное решение уравнения Лапласа

u	2u			2u	0	(13.1)
	x	2	y2

в плоской области D, ограниченной контуром Г, удовлетворяющее граничному условию:

u		Г f x, y .	(13.2)

Сначала дифференциальное уравнение (13.1) заменим конечноразностным. Чтобы оценить точность такой замены, нужно воспользоваться формулой Тейлора для функции двух переменных:

f x h, y l f x, y

l f x, y

f x, y

n 1

f x, y

f x h, y l ,

n 1!

0 1.

(13.3)

Записываем значения функции u в серединах сторон квадрата B, C, D, E (рис. 15) по формуле Тейлора:

Рис. 15. Первая основная схема

u B u x h, y u x, y hux

u 2

u 3

u~ 44 ,

u C u x h, y u x, y hux

u 2

u 3

u E u x, y h u x, y huy

u 2

u 3

u~ 44 ,

u D u x, y h

u x, y huy

u 2

u 3

~ 4

–

значения производных

соответствующих

где ux4

,ux4

,uy4

промежуточных точках. Складывая эти равенства, получаем

u(x–h, y)+u(x+h, y)+u(x, y–h)+u(x, y+h)=4u(x, y)+h2 u+о(h4)

и, следовательно, первая конечно-разностная форма оператора Лапласа

имеет вид:

u = 1 [u(x–h, y)+u(x+h, y)+u(x, y–h)+u(x, y+h) – h2

		– 4u(x, y)]+о(h2).	(13.4)
Из (13.4) следует, что уравнение Лапласа (13.1) можно заменить
разностным:
u(x, y)=	1	[u(x+h, y)+u(x–h, y)+u(x, y–h)+u(x, y+h)]	(13.5)

4

с погрешностью

	h	2				4	u		4	u
R	h		M , M = max				u	,		u	.	(13.6)
R			M , M = max					,			.	(13.6)
h	6		4	4		x4			y4
	6				x, y ) D	x4			y4
					x, y ) D

По формуле Тейлора (13.3) выразим значения функции u в вершинах квадрата B, C, D, E (рис. 16):

Рис. 16. Вторая основная схема

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019887.81 Кб82ТМА Ковалёв.doc
#
13.08.20191.35 Mб20ТМАПР.DOC
#
04.06.201547.83 Кб68ТНУ 2.docx
#
01.05.2025343.19 Кб2ТОАТ 2014 Курсовая работа.docx
#
17.11.2019111.62 Кб16ТОКБ-TCSEC.doc
#
27.03.20165.07 Mб191Толстых-Уравнматем-физики.pdf
#
01.03.20252.11 Mб7тормоза.doc
#
04.06.20152.11 Mб227тормозное оборудование.doc
#
04.06.2015610.29 Кб1903Транспортная безопасность.pdf
#
04.06.201573.27 Кб68транспортное право.docx
#
04.06.2015152.96 Кб19трехфазные цепи.docx