8.5. Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового мнк

Как было отмечено в предыдущем разделе, наличие корреляционных связей между ошибками различных эконометрических моделей, входящих во взаимозависимую систему, ведет к потере свойства эффективности оценок их коэффициентов. В такой ситуации теория рекомендует для получения этих оценок вместо двух шагового использовать трехшаговый МНК, который включает в себя дополнительный этап, связанный с при­менением обобщенного МНК при известной ковариационной матрице ошибок различных моделей. В результате трехшаговый МНК применя­ется как метод оценивания коэффициентов структурной формы всей системы моделей, а не отдельных ее уравнений.

Дадим достаточно схематичное изложение трехшагового МНК в об­щем виде.

Представим е структурное уравнение системы в виде, аналогичном (8.50),:

(8.70)

где, как и в разделе 8.4, матрица, сформированная на основе исходных значений эндогенных и экзогенных переменныхй модели;вектор параметровй модели;вектор ошибкий модели.

Умножим левую и правую части выражения (8.70) слева на транспо­нированную матрицу значений всех экзогенных переменных X. В ре­зультате получим модель следующего вида:

. (8.71)

В выражении (8.71) вектор рассматривается как вектор значений новой зависимой переменной, матрица как матрица значений но­вых независимых факторов, а векторкак вектор значений новой ошибки. При этом ковариационная матрица этой ошибки определяется согласно следующему выражению:

, (8.72)

где постоянная дисперсия ошибкиго уравнения системы.

Поскольку , т.е. ковариационная матрица ошибки имеет вид, отличный от единичной матрицы, умноженной на постоянную дис­персию, то для получения эффективных оценок коэффициентов модели (8.71) необходимо использовать обобщенный МНК. Оценка вектора ко­эффициентов Si в этом случае определяется согласно следующему выра­жению:

. (8.73)

С учетом представления матрицы в виде и выражения (8.54) формула (8.73) тождественна выражению (8.58).

Применим преобразование (8.71) ко всей системе взаимозависимы уравнений, представленной в форме записи, аналогичной выражению (8.25). В результате получим следующую систему:

. (8.74)

Ковариационная матрица вектора ошибки системы (8.74) будет иметь следующий вид:

, (8.75)

где символом обозначена ковариация ошибок го иго уравнений системы. Иными словами,

. (8.76)

Если из значений сформировать матрицу размера то выра­жение (8.75) можно представить как кронекерово произведение матриц и .

, (8.77)

где символ кронекерова произведения.

Согласно свойству кронекерова произведения,

. (6.78)

С учетом (8.78) оценку вектора коэффициентов всей системы взаимо­зависимых эконометрических моделей получим с использованием обоб­щенного МНК в следующем виде:

. (6.79)

Таким образом, рассмотренная процедура оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей состоит из трех последовательных этапов, определяющих со­держание трехшагового МНК.

Этап 1.

На этом этапе с использованием обычного МНК на основании приведенной формы определяются расчетные значения переменных , рас­сматриваемых в качестве независимых эндогенных переменных в каждом из уравнений системы,, где индекс уравнения системы.

Этап 2.

Как и в двухшаговом МНК, на этом этапе с использованием значений определяются оценки коэффициентов структурной формы каждого из уравнений системы. Для этой цели используется выражение (8.73).

Кроме того, на этом шаге определяются векторы ошибок каждого из уравнений системы с использованием которых рассчиты­ваются на основании формулы (8.76) оценки дисперсии каждого из уравнении и их взаимные ковариации и в соответствии с выражением (8.75) формируется ковариационная матрица .

Этап 3.

С помощью обобщенного МНК (выражение (8.79)) определяются «окончательные» оценки коэффициентов структурной формы всей систе­мы взаимозависимых эконометрических моделей, которые теоретически при наличии корреляции между ошибками различных уравнений являют­ся «более эффективными» по сравнению с аналогичными оценками двухшагового МНК.

Если ошибки уравнений системы не коррелируют между собой, т.е. , , то трехшаговый МНК не имеет преимуществ перед двухшаговым. При применении трехшагового МНК необходимо соблюдать неко­торые дополнительные правила, что делает его процедуру менее универ­сальной по сравнению с двухшаговой. Они состоят в следующем:

1. Процедура выполняется только для идентифицируемых и сверх-идентифицируемых уравнений системы. Тождества и неидентифицируемые уравнения в ней не участвуют.

2. Процедуру желательно выполнять для групп идентифицируемых и неидентифицируемых уравнений раздельно. При этом, если в соответст­вующую группу входит только одно сверхидентифицируемое уравнение, то трехшаговая процедура для него превращается в двухшаговую.

Наряду с рассмотренными в данном разделе методами существуют и некоторые другие, позволяющие получить «приемлемые по качеству» оценки коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей. Так, эти оценки для отдельных моделей можно найти с помощью метода наименьшего дисперсионного отношения, в свою очередь базирующегося на методе максимального правдоподобия с огра­ниченной информацией, использующего, кроме обычных предположений с нормальности распределения и независимости ошибок структурного урав­нения, также дополнительное предположение о ранге матрицы значений независимых переменных приведенной формы. Оценить коэффициенты структурной формы всей системы эконометрических моделей можно и на основе метода максимального правдоподобия с полной информацией.

Однако перечисленные методы гораздо более трудоемки по сравне­нию с двухшаговым и трехшаговым МНК , и, что самое главное, они не дают никаких преимуществ перед последними с точки зрения качества лученных оценок. Вследствие этого в большинстве эконометрических исследований, проводимых на основе систем взаимозависимых уравнений, для оценки их коэффициентов рекомендуется использовать именно двухшаговый и трехшаговый МНК.

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ VIII

1. Перечислите основные предпосылки систем взаимозависимых пе­ременных.

2. Чем обусловлена смещенность оценок коэффициентов уравнений, полученных с использованием МНК?

3. Что представляют собой структурная и приведенная формы модели?

4. Как проводится оценивание коэффициентов с использованием огра­ничений на структурные параметры?

5. Что представляют собой порядковое и ранговое условия идентифи­цируемости уравнений структурной формы?

6. Что представляют собой рекурсивные системы моделей?

7. В чем состоит суть двухшагового и трехшагового МНК, используемых для оценки коэффициентов системы взаимозависимых уравнений?

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII Задание 8.1

Имеется следующая модель:

; (8.1)

; (8.2)

, (8.3)

где логарифм цены;логарифм почасовой оплаты,логарифм себестоимости;логарифм объема производства илогарифм коли­чества рабочих часов в неделю в период.

Требуется:

1. Представить модель в матричной форме записи.

2. Определить ранговые условия идентифицируемости уравнений для и

Задание 8.2

Имеется следующая макроэкономическая модель:

; (8.4)

; (8.5)

, (8.6)

где потребление;инвестиции,государственные расходы;валовой национальный продукт в период.

Требуется:

1. Определить типы уравнений и типы переменных, входящих в модель (8.4) – (8.6).

2. Представить структурные уравнения в матричной форме.

3. Построить соответствующую приведенную форму.

4. Определить метод оценки параметров приведенной формы.

5. Проверить идентифицируемость уравнений структурной формы модели.

Задание 8.3.

Имеется следующая система взаимозависимых уравнений:

;

;

.

1. Проверить идентифицируемость уравнений системы.

2. Выяснить идентифицируемость, если на параметры наложены еле дующие ограничения:

а) ;

б) .

Задание 8.4

Имеется следующая макроэкономическая модель:

;

;

;

.

Требуется описать процедуру оценивания уравнений по двухшаговому МНК.

Задание 8.5

Имеется следующая макроэкономическая модель:

;

;

.

Требуется:

1. Написать модель в матричном виде и найти соответствующую про­гнозную форму.

2. Определить число ограничений, наложенных на коэффициенты приведенной формы.

3. Показать, что при заданных значениях коэффициентов приведенной формы можно однозначно определить коэффициенты структурной фор­мы.