Лекции эконометрика 1-8 / Lektsia_3
.pdf
Эконометрика 1 осень 2015
Лекция 3 16.09.2015
Совместные и условные распределения вероятностей
Пусть , – случайные величины.
Совместным распределением вероятностей случайных величин и называется вероятность
того, что обе случайные величины одновременно принимают определенные значения, например, и .
Обозначение: Pr = , = .
2
Совместные и условные распределения вероятностей
Распределение случайной величины Y, обусловленное другой случайной величиной X, принимающей
определенные значения, называется условным распределением Y относительно X.
Обозначение: Pr = =
3
Совместные и условные распределения вероятностей
Свойства:
1. Pr = , = |
= |
|
|
||
|
= Pr = = Pr |
|
|
||
|
= Pr = = Pr |
|
|
||
2. Pr = = |
= Pr = = Pr |
|
|
||
|
|
|
Pr |
|
|
3. Pr = = |
|
|
= , = , где , … , - все |
||
|
=1 |
|
1 |
|
|
значения, которые может принимать случайная величина X. В данном случае, Pr = - безусловная вероятность того, что Y=y. Или просто вероятность.
4
Совместные и условные распределения вероятностей
Таблица 2.3 Совместное и условное распределения сбоев компьютера (М)
и возраста компьютера (А)
А. Совместное распределение
|
|
|
M=0 |
M=1 |
M=2 |
M=3 |
M=4 |
Всего |
Старый |
компьютер |
0,35 |
0,065 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,50 |
|
(A=0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Новый |
компьютер |
0,45 |
0,35 |
0,01 |
0,005 |
0,00 |
0,50 |
|
(А=1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Всего |
|
0,80 |
0,10 |
0,06 |
0,03 |
0,01 |
1,00 |
|
Б. Условное распределение М при условии А |
|
|
|
|||||
|
Pr(M A=0) |
|
M=0 |
M=1 |
M=2 |
M=3 |
M=4 |
Всего |
|
|
0,70 |
0,13 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
1,00 |
|
Pr(M A=1) |
|
0,90 |
0,07 |
0,02 |
0,01 |
0,00 |
1,00 |
|
5
Условное математическое ожидание и условная дисперсия
Условным математическим ожиданием (или условным средним) Y при X=x называется
= = Pr = = ,
=1
где 1, … , - все значения, которые может принимать случайная величина Y.
Условной дисперсией Y при X=x называется
var = = |
− = |
2Pr = |
= |
|
|
|
|
6 |
=1 |
|
|
Закон повторного математического ожидания и независимость с.в.
- Закон повторного математического ожидания
=
- Независимость случайных величин Y и X
Pr = = = Pr =
Свойство: Pr = , = = Pr = Pr =
7
Предположения МНК
Предположение №1: условное распределение
относительно |
имеет нулевое среднее: |
|
= 0 |
|
|
|
Предположение №2: , , = 1, … , , независимы и одинаково распределены (i.i.d.)
Предположение №3: большие выбросы маловероятны: и имеют ненулевые конечные четвертые моменты
8
Зачем нужны эти предположения?
-Математическая роль: при их выполнении МНК оценка имеет некоторые хорошие свойства
-Позволяют понять проблемы, возникающие при оценке МНК регрессии, если эти предположения нарушаются
9
Свойства МНК оценок
Если выполняются предположения 1-3 метода наименьших квадратов, то в больших выборках
1. 0 и 1 имеют совместное нормальное распределение;
2. ~ |
|
, 2 |
(асимптотически), где |
|
||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 var |
− |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
var |
2 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. 0~ 0, 20 (асимптотически), где
2 = 1 var 2 , где = 1 −
0 2
10
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
||
|
|