Лекции эконометрика 1-8 / Лекция 8
.pdf
Проверка совместных гипотез
Предлагаемая процедура тестирования предлагает отвергать
H0: β1 = β2 = 0,
если
|t1| > 1,96 и/или |t2| > 1,96.
Чему равна вероятность отвержения нулевой гипотезы, когда она верна, при такой процедуре тестирования?
(!она д.б. 5%!)
11
Проверка совместных гипотез
Вероятность некорректно отвергнуть H0 на 5%-м уровне значимости, когда она верна, в такой процедуре равна:
Pr 0[|t1| > 1,96 и/или |t2| > 1,96]
=1 –Pr 0 [|t1| ≤ 1,96 и |t2| ≤ 1,96]=[т.к. t1 и t2 независимы по предположению]
=1 –Pr 0 [|t1| ≤ 1,96] ×Pr 0[|t2| ≤ 1,96]
=1 – (0,95)2
=0,0975 = 9,75% – |
не 5%!!! |
12
Проверка совместных гипотез
Выводы
•Предложенная процедура (на основе t-статистик) имеет неправильный размер критерия (≠5%);
•Этот размер критерия зависит от корреляции между t1 и t2 (и, следовательно, между 1 и 2)
Возможные решения
•Использовать «правильные» критические значения (не 1,96) →метод Бонеферрони
•Использовать другую процедуру тестирования
13
Проверка совместных гипотез: F-статистика
F-статистика позволяет проверять одновременно все ограничения совместной гипотезы
Для частного случая
H0: β1 = β1,0 и β2 = β2,0
в регрессии с двумя регрессорами:
|
1 |
2 |
+ 2 |
− |
1 |
, |
2 |
1 2 |
|
= |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
||
2 |
|
1− |
, 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
где 1,2 - оценка коэффициента корреляции между t1 и t2.
Нулевая гипотеза отвергается, когда F достаточно 14 большая (насколько?)
Проверка совместных гипотез: F-статистика
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
+ 2 |
− |
|
|
|
= |
1 |
2 |
1,2 |
1 |
2 |
||
2 |
|
1 − |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
•F-статистика большая, если t1 и/или t2 – большие
•F-статистика корректирует наличие корреляции между t1 и t2
•Формула для большего числа ограничений – или громоздкая, или использует матричную алгебру
15
Проверка совместных гипотез: F-статистика в больших выборках
|
|
|
|
|
|
Вспоминаем: |
|
|
Распределение хи-квадрат с q степенями свободы |
2 |
- это сумма q |
|
|
|
квадратов независимых стандартных нормальных величин
→ в больших выборках ~ 2 / |
|
|
||
|
|
|
|
|
Асимптотические критические значения |
2 |
/ |
||
|
|
|
|
|
q |
5% |
|
|
|
1 |
3,84 |
(почему?) |
|
|
2 |
3,00 |
(для q=2) |
|
|
3 |
2,60 |
|
|
|
4 |
2,37 |
|
|
|
5 |
2,21 |
|
|
|
16 p-значение = хвост |
2 /, лежащий правее вычисленной F- статистики |
|||
|
|
|
|
|
Проверка совместных гипотез: F-статистика для случая гомоскедастичных ошибок
Для случая гомоскедастичных ошибок F-статистику можно вычислить проще:
•Оцените две регрессии: регрессию «с ограничениями» (т.е. в предположениях нулевой гипотезы) и регрессию «без ограничений» (в предположениях альтернативной)
•Вычислите 2 и 2 - R2 –ы в соответсвующих регрессиях (или и )
17
Проверка совместных гипотез: F-статистика для случая гомоскедастичных ошибок
Тогда
2 |
− 2 |
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
1 − 2 |
|
− |
|
− 1 |
|
|
|
|
|||
где
2 - R2 в регрессии в ограничениями
2 - R2 в регрессии без ограничений
q – число ограничений в нулевой гипотезе
- число объясняющих переменных (без константы) в модели без ограничений
Больше разность между R2 –ми в регрессиях с ограничениями и без
18→ больше улучшение качества подгонки при включении новых
переменных → больше значение F-статистики → отвергается 0
Проверка совместных гипотез: F-статистика для случая гомоскедастичных ошибок -пример
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессия с ограничениями |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= 644,7 –0,671PctEL, |
2 |
= 0,4149 |
||||||||||||
|
|
|
|
(1,0) |
|
|
(0,032) |
|
|
|
|
|
||||
|
Регрессия без ограничений |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= 649,6 – 0,29STR + 3,87Expn – 0,656PctEL |
|||||||||||||||
|
|
|
|
(15,5) |
|
(0,48) |
(1,59) |
|
(0,032) |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
= 0,4366, k |
UR |
= 3, |
q = 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
2 − 2 |
|
|
|
= |
|
0,4366−0,4149 /2 |
= 8,01 |
|||||||
|
1− 2 |
|
− |
|
−1 |
1−0,4366 / 420−3−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
!Устойчивая к гетероскедастичности F-статистика=5,43! |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
Проверка совместных гипотез: F-статистика для случая гомоскедастичных ошибок
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 2 |
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
1 − 2 |
|
− |
|
− 1 |
|
|
|
|
|||
•F-статистика для случая гомоскедастичных ошибок отвергает нулевую гипотезу, когда включение в модель двух (или больше) новых переменных увеличивает коэффициент детерминации «достаточно» для того, чтобы качество регрессии улучшилось «достаточно»
•F-статистика для случая гомоскедастичных ошибок асимптотически распределена как 2 /
•Если ошибки гетероскедастичны, то асимптотическое
20распределение F-статистика для случая гомоскедастичных
ошибок не является 2 /