Лекции эконометрика 1-8 / Лекция 8
.pdf
Эконометрика 1
осень 2015
Лекция 8 21.10.2015
Теорема Фриша-Во
МНК оценка коэффициента множественной регрессии может быть вычислена по следующему алгоритму (все регрессии включают свободный член):
1.Оценим регрессию 1 на 2, 3, … , . Пусть 1 – остатки этой регрессии;
2.Оценим регрессию Y на 2, 3, … , . Пусть – остатки этой регрессии;
3.Оценим регрессию на 1.
2
Теорема Фриша-Во
Тогда МНК-оценка коэффициента в регрессии из
пункта 3 равна МНК-оценке коэффициента при 1 в модели множественной регрессии
= + |
+ |
|
+ … + |
|
+ |
, = 1, … , , (1) |
0 1 1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
3
Проверка гипотез и построение доверительных интервалов для одного коэффициента
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= + + + … + , = 1, … , , (2) |
|||||
0 |
1 1 |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
: |
|
= |
|
|
|
0 |
|
,0 |
|
|
|
: |
|
≠ |
|
|
|
1 |
|
,0 |
|
где j=0,…, k.
4
Проверка гипотез и построение доверительных интервалов для одного коэффициента
1.Вычисляем стандартную ошибку :
2.Вычисляем тестовую статистику :
= − ,0
3.Отвергаем нулевую гипотезу на уровне значимости 5%, если > 1,96. Или, эквивалентно, отвергаем нулевую
гипотезу, если р-значение меньше 0,05. Или если не попадает в доверительный интервал: { ± 1,96×SE( )}
5
Проверка гипотез и построение доверительных интервалов для одного коэффициента: пример
|
|
|
|
|
|
|
|
= 698,9 |
– 2,28×STR |
|
(3) |
(10,4) |
(0,52) |
|
|
= 686,0 – 1,10×STR – 0,650PctEL |
(4) |
||
(8,7) |
(0,43) |
(0,031) |
|
•Коэффициент при STR в (4) – влияние на TestScores единичного изменения в STR, в предположении неизменности % изучающих английский язык в округе
•Коэффициент при STR в (4) почти в 2 раза меньше, чем в (3)
•95%-1 доверительный интервал для коэффициента при STR в (4): {–1,10 ± 1,96×0,43}, т.е. (–1,95; –0,26)
•t-статистика для проверки гипотезы βSTR = 0 равна
t= –1,10/0,43 = –2,54,
→отвергаем нулевую гипотезу на уровне значимости 5%
6
Проверка гипотез и построение доверительных интервалов для одного коэффициента
! Важно !
Стандартные ошибки коэффициентов – устойчивые к гетроскедастичности (Уайта)
7
Проверка совместных гипотез
Расширим модель (4): |
|
TestScorei = β0 + β1STRi + β2Expni + β3PctELi + ui , |
(5) |
|
где Expn = расходы на одного учащегося. |
|
Нулевая гипотеза: «школьные ресурсы ни на что не |
|
влияют» и альтернативная к ней имеют вид: |
|
H0: β1 = 0 и β2 = 0 |
8 |
против H1: или β1 ≠ 0 или β2 ≠ 0 или оба |
Проверка совместных гипотез
•H0: β1 = 0 и β2 = 0
vs. H1: или β1 ≠ 0 или β2 ≠ 0 или оба
•Совместная гипотеза накладывает условия (ограничения) на два (или более) коэффициента регрессии.
•В общем случае совместная гипотеза включает q ограничений. В предыдущем примере q = 2 → два ограничения вида: β1 = 0 и β2 = 0.
•? Отвергать совместную гипотезу (5%), если каждая индивидуальная t-статистика превышает 1,96 по
9 модулю?
Проверка совместных гипотез
•!Нет!: нулевая гипотеза отвергается слишком часто (чаще чем в 5% случаев)!
•?Почему? → в этом случае уровень значимости не равен 5%:
Пусть t1 и t2 – индивидуальные t-статистики:
= 1−0 |
и = 2−0 |
, |
||||
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
Которые независимо распределены (для простоты)
10