Ковалевский. Книжки по геостатистике_1 / EAGE_Kovalevsky_SLTRU_2011_Geological_Modelling_on_the_Base_of_Geostatistics

Рис. 55. Стохастическая интерполяция с использованием преобразования «Normal Score» (пояснения даны в тексте).

Описание метода «Normal Score» получилось у нас с большой долей критики. В отношении вариограммы наша критика чрезмерна. Чтобы улучшить решение, делают небольшую подмену – преобразованные данные интерполируют на основании не их собственной вариограммы (рассчитанной после преобразования), а на основании исходной. У которой меняют только порог. После этого песчаные тела приобретают должный размер.

Рассмотрим теперь, какой результат дает стохастическая интерполяция методом «Normal Score» в нашем примере. Кубы интерполированных скважинных значений APS (две реализации) показаны на рис. 56. Гистограмма и вариограммы интерполированных значений представлены на рис. 57.

87

Рис. 56. Две реализации стохастической интерполяции скважинных значений APS с использованием преобразования «Normal Score».

88

Рис. 57. Последовательно – гистограммы, горизонтальные вариограммы, вертикальные вариограммы. Красные линии – для исходных скважинных данных, синие линии – для реализации APS, рассчитанной с использованием преобразования «Normal Score».

Мы видим, что выполненная интерполяция идеально воспроизводит гистограмму скважинных данных и их вертикальную вариограмму. Горизонтальная вариограмма воспроизводится пусть не идеально, но достаточно хорошо. Поставленная задача решена успешно?

Нет, не совсем. Интерполяцию, основанную на преобразовании «Normal Score», следует использовать с большой осторожностью. Почему? Причина состоит в следующем. Мы уже говорили, что отклонение гистограммы данных от гауссовского распределения указывает на то, что в поведении параметра присутствуют детерминированные (не случайные) черты. Их необходимо выделить и исключить. Вместо этого преобразование «Normal Score» предлагает нам формально воспроизводить искаженное (негауссовское) распределение. Причем воспроизводить повсеместно.

Чтобы убедиться в слабости решения, основанного на преобразовании «Normal Score», достаточно проверить его локально. Результат такой проверки для пласта AV1 показан на рис. 58. Интерполяция, основанная на преобразовании «Normal Score», порождает в пласте AV1 множество значений APS близких к единице, которых нет в исходных данных. Несколько в меньшей степени, но то же самое имеет место для значений APS близких к нулю. Все это отчетливо видно на горизонтальном сечении пласта AV1 (рис. 59). Обратите внимание – значения, близкие к единице (красный цвет), и значения, близкие к нулю (зеленый цвет), располагаются строго между скважинами. В самих скважинах (на уровне сечения) близких к единице и близких к нулю значений нет.

Ну и что, к какому выводу мы пришли? Модели, которые дает геостатистика, плохие? Нет, не плохие. Реализации, показанные на рис. 56, очень неплохие. Даже, можно сказать, замечательные! Они несравненно лучше нашего исходного детерминированного решения, показанного ранее на рис. 41. Вот только горизонт AV1 следовало рассчитать отдельно.

На этом подробное рассмотрение геостатистических реализаций в пространстве 3D мы завершаем. Нам осталось рассмотреть несколько обязательных тем, среди которых есть и очень важные. Но мы их рассмотрим достаточно кратко, стараясь, по возможности, обращать внимание только на самое интересное. Пытаться объять необъятное мы не будем.

89

Рис. 58. Гистограммы и горизонтальные вариограммы. Красные линии – для исходных скважинных данных, синие линии – для реализации APS, рассчитанной с использованием преобразования «Normal Score». Проверка для пласта AV1.

Рис. 59. Куб APS, рассчитанный с помощью преобразования «Normal Score». Горизонтальное сечение в интервале пласта AV1. Все красные и зеленые области находятся исключительно между скважинами.

90

6. Неклассические геостатистические методы

В предыдущей главе мы выпустили в сторону геостатистики много критических стрел. Давайте восстановим баланс и скажем в ее адрес необходимые положительные слова. Например, скажем о том, какие идеи геостатистики мы считаем очень ценными.

1.Очень ценной мы считаем идею анализа гистограмм данных. Повторим – каждая негауссовская гистограмма говорит о чем-то важном и интересном, надо только понять, что именно она говорит. Чрезвычайно полезным (для выяснения причин искажения нормального распределения) является сравнительный анализ гистограмм данных по разным участкам на плане XY и по разным интервалам (стратиграфическим горизонтам) по Z.

2.Столь же ценной и конструктивной является идея расчета вариограммы. Имея на площади всего несколько пар близко расположенных скважин, мы можем (сравнивая значения скважинных параметров на разных уровнях Z) достаточно хорошо рассчитать наиболее важный начальный участок вариограммы и получить представление о характере горизонтальной изменчивости среды.

3.Идея расчета стохастических реализаций является просто блестящей! Недостаток данных мы восполняем тем, что рассчитываем множество равновероятных прогнозов. При детерминированном моделировании мы указываем доверительные интервалы. Реализации дают нам гораздо больше – они показывают, какими именно могут быть решения внутри доверительных интервалов.

4.Сравнение гистограмм и вариограмм исходных данных и интерполированных значений позволяет нам эффективно контролировать качество интерполяции.

Важным достоинством классической двухточечной геостатистики (основанной на использовании вариограмм) является ее математическая строгость. Дальше в этой главе мы рассмотрим несколько неклассических геостатистических методов, включающих большую или меньшую долю эвристики. Все они заимствовали из классической геостатистики ее главную идею – идею расчета стохастических реализаций.

6.1. Объектное моделирование

В разделе Введение мы говорили о том, что модель среды должна соответствовать не только скважинным и сейсмическим данным, но и нашим знаниям о процессах формирования геологической среды. Объектное моделирование является инструментом, позволяющим представлять знания о среде (в отношении вероятной формы песчаных и иных тел) в виде моделей среды.

Объектное моделирование решает относительно простую задачу – задачу категориальной интерполяции данных. При этом число используемых категорий обычно невелико. Типичной задачей объектного моделирования является расчет в пространстве возможной конфигурации песчаных тел – русел или каналов. Используя диалоговый интерфейс, геолог указывает основное направление русел, их ширину и толщину, период и амплитуду их синусоидальных искривлений. Все параметры характеризуются средними значениями и среднеквадратичными отклонениями. Вместо русел (или в дополнение к ним) могут быть описаны тела линзовидной или конусообразной формы. Программа последовательно генерирует и помещает в пространство

91

множество (тысячи, миллионы) соответствующих объектов, но оставляет только те из них, которые согласуются со скважинными данными.

Дополнительно можно потребовать, чтобы результат моделирования соответствовал заданной гистограмме, геолого-статистическому разрезу и (или) карте эффективной мощности. Бывает так, что программа не может выполнить все заданные условия – тогда геологу приходится их ослаблять. После расчета одной реализации распределения в пространстве песчаных тел рассчитывается вторая, и так далее. Оценка реализаций при помощи вариограмм возможна, но обязательной не является. Особенностью объектного моделирования является то, что оно лучше работает при малом количестве скважин.

Пример объектного моделирования показан на рис. 60 вверху. Ниже показан результат, полученный по тем же скважинным данным при помощи индикаторного моделирования. Наблюдательный читатель может заметить, что при индикаторном моделировании число категорий было уменьшено с трех до двух. Какой результат ближе к истине? И первый, и второй метод не более чем инструменты в руках геолога.

6.2. Многоточечная геостатистика

Посмотрим еще раз на рис. 60 (на фрагмент внизу). Он показывает, что индикаторное моделирование на основе двухточечной вариограммы позволяет нам очень слабо влиять на конфигурацию песчаных тел. Мы можем лишь приблизительно задавать средние размеры этих тел и, дополнительно, придавать этим размерам некоторую анизотропию. Объектное моделирование (рис. 60 вверху) позволяет нам больше – мы можем задавать конфигурацию отдельных песчаных тел непосредственно. Но при этом мы не очень хорошо контролируем, какую конфигурацию принимает совокупность этих тел. Однако бывает так, что большое значение имеет конфигурация именно их совокупности. Например, геологу необходимо воспроизвести в модели пространственную картину, аналогичную той, которую он видит на космическом снимке какойнибудь дельты. Имея такой снимок (или иной подобный образ), геолог хочет получить результат, близкий к нему настолько, насколько позволяют скважинные данные. Названная задача решается при помощи многоточечной геостатистики.

Метод, имеющий столь внушительное название, на самом деле очень прост. Для его объяснения достаточно одной иллюстрации (рис. 61). На представленном рисунке показан расчет на двумерной сетке, но в трехмерном случае все делается точно также (за исключением того, что сложнее подготовить эталонный образ). Итак, с левой стороны помещен план XY исследуемой площади. Окрашены те ячейки сетки, в которые попали скважины. Цветом ячеек отображены скважинные данные в отношении типа пород (коллектор или неколлектор). С правой стороны показан подготовленный эталонный образ. В центре на рис. 61 изображен используемый шаблон. В нашем случае это квадрат размером 7х7 ячеек.

92

Рис. 60. Вверху – одна из реализаций объектного моделирования. Внизу – одна из реализаций (на основании данных тех же скважин) индикаторного моделирования.

93

Рис. 61. Алгоритм метода «многоточечная геостатистика» (пояснения в тексте).

Порядок работы с планом XY, эталонным образом и шаблоном следующий. Первое – случайным образом выбирается ячейка на плане XY, отличная от известных. Пусть это будет ячейка (точка) А. С ней совмещается центральная ячейка шаблона, после чего на шаблон переносятся попавшие в него скважинные данные (выделены окружностями). Второе – шаблоном с попавшими в него данными сканируется весь эталонный образ и фиксируются те положения шаблона, при которых данные на шаблоне совпадают с подложенной картиной. В нашем примере таких положений оказалось три (показаны на рис. 61). В каждом таком положении проверяется тип породы в центральной ячейке шаблона. У нас дважды в центре оказывается «коллектор» и один раз «неколлектор». На этом основании делается вывод о том, что вероятность коллектора в точке А составляет 66%. Третье и последнее – генерируется случайное число, равномерно распределенное на интервале [0,1]. Если оно оказывается меньше, чем 0.66, в точку A заносится значение «коллектор», в противном случае – «неколлектор». После этого ячейка A получает такой же статус, как ячейки со скважинами, и процесс продолжается дальше. При заполнении всех ячеек расчет реализации считается завершенным. Затем рассчитывается вторая реализация, и т.д.

Где в этом методе элемент эвристики? В сравнении с объектным моделированием он выглядит более строгим. Эвристика заключается в том, что мы, помимо скважинных данных, используем в ходе интерполяции посторонний образ.

У метода многоточечной геостатистики есть свои проблемы. Например, рассчитанная при помощи описанного алгоритма картина может иметь дефекты в виде разрывов (рис. 62). Метод приходится усложнять. Для более глубокого знакомства с многоточечной геостатистикой рекомендуем обратиться к работе Daly, Caers, 2010.

94

Рис. 62. Результат расчета методом многоточечной геостатистики. Отмечены разрывы русел.

6.3. Нечеткая геологическая модель

6.3.1. Введение

Прежде, чем идти дальше, подведем очередной промежуточный итог (проведем сеанс рефлексии). Мы рассмотрели шесть методов: детерминированную (весовую) интерполяцию, кригинг и реализации кригинга, а также три метода категориальной интерполяции данных – индикаторное моделирование, объектное моделирование и многоточечную геостатистику. Откуда такое изобилие?

На самом деле все очень логично. Детерминированные методы не воспроизводят истинную изменчивость геологической среды. Их результат зависит от плотности данных (скважин). Это плохо, и поэтому они нас не устраивают. Геостатистические реализации воспроизводят изменчивость среды, но исходят из ее статистической однородности. Все (не выделенные) детерминированные особенности, которые присутствуют в данных, в реализациях стираются. То есть никаких особенностей чередования тонких и толстых пластов, узнаваемых конфигураций литологических тел и т.п. в реализациях не остается. Это тоже плохо. Чтобы вернуть в реализации детерминированные черты, придумали объектное моделирование и многоточечную геостатистику. Детерминированные черты в реализациях действительно появляются. Но это не те черты, которые присутствуют (зачастую в глубоко скрытом виде) в данных, а те, которые «навязывает» геолог.

Теперь понятно, что мы собираемся предложить. Мы собираемся предложить метод, который будет рассчитывать стохастические реализации, имеющие те самые детерминированные черты, которые присутствуют в данных. И нам не надо будет предварительно искать, выявлять эти черты – они сами проявят себя в реализациях.

Метод, который мы имеем в виду, называется «нечеткая геологическая модель». Поясним, что он дает, при помощи следующего примера. Выведем на один профиль 5 скважин с вертикальными разрезами пористости. Попросим 10 геологов, чтобы каждый взял пачку фломастеров (20 цветов)

95

и нарисовал по этим скважинам профильный разрез пористости. В результате мы получим 10 разных разрезов. Каждое значение пористости (с шагом в один процент) будет закрашено своим цветом, но на каждом разрезе это будет сделано чуть иначе, чем на других. И конечно, эти разрезы нельзя будет назвать статистически однородными. Вот примерно такие реализации пористости дает нечеткая геологическая модель.

Суть нечеткой модели – категориальная интерполяция количественных данных (APS, пористости

ит. п.). Если в некоторой точке значение APS равно 0.7, то мы считаем, что и в окружающей области пространства значение APS тоже равно 0.7. Между соседними точками данных (точкой 1

иточкой 2) с разными значениями APS возникает зона неопределенности, поскольку мы не знаем, где в пространстве кончается значение 1 и начинается значение 2. Названную неопределенность мы представим с помощью множества реализаций. Но значения в этих реализациях не будут распределены по Гауссу. Реализации будут отличаться лишь положением границы, разделяющей значение 1 и значение 2.

6.3.2. Нечеткое представление значения параметра в элементарном объеме среды

Каким образом мы представляем прогнозное значение параметра в каждом элементарном объеме среды? В детерминированной модели значение количественного параметра представляется одним числом, допустим, P(x,y,z)=12%. Погрешность этого значения оценивается экспертным путем. О недостатках экспертной оценки погрешности (не дифференцирована в пространстве, не учитывает корреляцию значений погрешности в пространстве) мы уже говорили в разделе 2.11.

Геостатистика (кригинг) представляет прогнозное значение параметра в каждой точке двумя числами, второе из которых явно указывает погрешность. Например, P(x,y,z)=12 ± 1%. В этом случае погрешность дифференцирована в пространстве. В стохастических реализациях параметра учитывается пространственная корреляция погрешности. Вследствие названных факторов геостатистическая интерполяция дает более точный прогноз, чем детерминированная.

Однако бывают ситуации, когда адекватно представить прогнозное значение параметра при помощи только двух чисел невозможно. Рассмотрим пример, показанный на рис. 63 а. Точка А расположена вблизи границы между породами с пористостью 4% и 12%. Какой прогноз пористости мы можем дать в точке А?

Рис. 63. Представление пористости в точке А на основе нечетких множеств Л. Заде.

96