P4_11_2012

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

Если текущая координата x x(t) , то проекция на ось x силы F , действую-

Равенство (22) справедливо для любого значения координаты x колеблющегося груза, что, вообще говоря, нужно проверить, т. к. мы хотим получить дифференциальное уравнение колебаний, справедливое не только для одного значения x , а для всех значений.

Запишем уравнение движения груза (уравнение второго закона Ньютона) в проекциях на ось x , учитывая, что проекция на ось x ускорения груза есть вто-

Видно, что это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, пери-

2-й способ решения. Используется закон сохранения энергии.

За нулевой уровень потенциальной энергии груза в поле тяжести удобно взять положение равновесия. Полная механическая энергия колебаний системы пред-

ставляет собой сумму кинетической энергии груза 12 m(x ')2 , потенциальной энергии груза в поле тяжести mg( x) mgx и потенциальной энергии деформа-

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

21

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

ции пружины 12 k(x0 x)2 . Здесь x ' проекция скорости груза на ось x , еѐ

квадрат равен, естественно, квадрату модуля скорости.

Полная механическая энергия при колебаниях должна сохраняться:

Дифференцируем (26) по времени:

mx ' x '' k(x0 x)x ' mgx ' 0.

С учѐтом (21) после простых преобразований получаем x '' mk x 0 , что

совпадает с (24). Итак, колебания гармонические с периодом, даваемым (25).

3-й способ. Сведение задачи к известной другой.

Заметим, что сила тяжести mg есть постоянно действующая на груз сила,

аналогичная силе F0 в примере 2. Поэтому сразу можно сказать, что колебания подвешенного на пружине груза будут гармоническими с периодом

Причѐм новое положение равновесия висящего груза сместится на величину x0 вниз ( kx0 mg ) по отношению к положению равновесия при отсутствии

поля тяжести. Около нового положения равновесия и колеблется подвешенный yгруз.

Теперь становится ясным, почему говорят, что период колебаний пружинного маятника определяется формулой (27), и не указывают при этом, скользит ли груз по столу или подвешен на пружине. Это полезно знать.

Пример 4. Показать, что в однородном поле тяжести малые собственные колебания в вертикальной плоскости математического маятника длиной l являются гармоническими и найти их период.

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

22

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

K 12 mv2 12 ml2 ( ')2 .

Если за нулевой уровень потенциальной энергии ( П 0 ) взять уровень, соответствующий нахождению шарика в положении равновесия маятника, то потенциальная энергия шарика в момент отклонения нити на угол окажется

П mg(l l cos ) . Поскольку 1 cos 2sin2 2 , то П 2mgl sin2 2 . Для малых углов можно считать, что значения их синусов приблизительно равны самим углам (в радианах). Поэтому sin 2 2 , и можно принять, что

Полная энергия системы, равная K П при колебаниях сохраняется. Следовательно, 12 ml2 ( ')2 12 mgl 2 const .

Продифференцируем последнее равенство по времени:

12 ml2 2 ' '' 12 mgl2 ' 0.

После упрощения имеем: '' gl 0.

Нами получено дифференциальное уравнение гармонических колебаний вели-

Итак, малые колебания математического маятника являются гармоническими с

Пример 5. Дан колебательный контур без затухания (сопротивление равно нулю) с постоянными ѐмкостью C и индуктивностью L . Показать, что свободные

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

23

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

Выберем положительное направление обхода контура, например по часовой

стрелке, как показано на рис. 16. Это означает, что ток I положителен, если его направление совпадает с положительным направлением обхода, и отрицателен, если не совпадает. Аналогичное можно сказать и про знак ЭДС самоиндукции E , при расчѐте которой по формуле E LI ' автоматически будет получаться знак у ЭДС, согласованный с направлением обхода.

Обозначим через q заряд той обкладки конденсатора, для которой q' I (для другой обкладки q ' I , что не очень удобно). Это легко сделать, если учесть,

E LI ' L(q ')' Lq '' , то равенство (28) после деления на L принимает вид:

Итак, получено дифференциальное уравнение гармонических колебаний вели-

Полезно заметить, что при изменении заряда по гармоническому закону q q0 cos( t 0 ) ток

I q ' q0 sin( t 0 ) q0 cos( t 0 2 ),

ЭДС самоиндукции E LI ' Lq0 2 cos( t 0 ) и напряжение на конденсаторе U Cq qC0 cos( t 0 ) . Итак, заряд на конденсаторе, ток в катушке, ЭДС

самоиндукции в катушке и напряжение на конденсаторе совершают гармонические колебания с периодом T 2 LC , причѐм q,E , U колеблются в фазе, а

колебания тока опережают колебания заряда по фазе на 2 .

2-й способ решения. Используется закон сохранения энергии.

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

24

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

Выберем положительное направление обхода контура и обозначим через q заряд той обкладки конденсатора, для которой q ' I . По закону сохранения

следовало ожидать, с уравнением (29), и дальнейшие рассуждения те же, что и в первом способе решения.

Пример 6. Батарею с постоянной ЭДС E0 подключили к катушке с индуктив-

ностью L и конденсатору с ѐмкостью C через ключ K . В начальный момент времени ключ K разомкнут и конденсатор заряжен до напряжения 3E0 (рис. 17).

Показать, что колебания тока в таком контуре гармонические и найти их период. Построить график зависимости тока от времени. Омическими сопротивлениями в схеме пренебречь.

Замечание. Если решение этого примера окажется непонятным, поскольку требуется значительная математическая культура, то рекомендуется прочитать и осмыслить только вывод в конце решения.

Решение. Выберем положительное направление обхода контура по часовой стрелке. Если через q обозначить заряд нижней обкладки конденсатора, то ток в

контуре I q' и ЭДС индукции в катушке E LI ' Lq '' . Заметим, что в состоянии равновесия колебательной системы (при отсутствии колебаний в контуре с замкнутым ключом) заряд нижней обкладки конденсатора равен CE0 . Ис-

Дифференциальное уравнение (31) отличается от уравнения (29) только тем, что в его правой части вместо нуля стоит постоянная величина E0 L. Уравнение

(31) можно привести к дифференциальному уравнению гармонических колебаний, аналогичному (17). Для этого запишем (31) в виде:

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

25

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

и перейдѐм к новой переменной Q такой, что Q q CE0 . Ясно, что Q' q' и Q '' q '' , Поэтому (32) принимает вид:

Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний для величины Q с циклической частотой 1/ LC . Итак, Q Q0 cos( t ), где Q0 и некоторые постоянные. Отсюда следует, что ток изменяется по закону I Q0 sin( t ) . Значения Q0 и найдѐм, воспользовавшись тем, что при t 0 ток I 0 , а заряд конденсатора q 3CE0 , т. е. Q q CE0 2CE0 . Тогда получим Q0 2CE0 , 0 , и окончательно закон изменения тока имеет вид:

I 2CE0 sin t,

где 1/ LC . Таким образом, колебания тока в контуре гармонические с периодом T 2 LC и амплитудой 2CE0 . График зависимости тока от време-

ни дан на рис. 18.

Вывод. При наличии в цепи колебательного контура батареи с постоянной ЭДС период колебаний тока в контуре остаѐтся таким же, как и в контуре без батареи. Кроме того, можно дополнительно показать, что колебания заряда конденсатора идут около нового равновесного значения заряда, равного CE0 , а коле-

бания напряжения на конденсаторе происходят тоже около нового равновесного значения напряжения, равного ЭДС батареи. Причѐм период колебаний заряда и напряжения будет таким же, как и при отсутствии батареи.

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

26

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

в этом примере, таким способом, мы получим ответ на большее количество вопросов, чем спрашивается, и, в частности, докажем, что после замыкания ключа колебания тока гармонические и фактически найдѐм их период, что совершенно не требуется в задаче! Для ответа на некоторые вопросы в задачах с электрическими схемами иногда достаточно воспользоваться фундаментальными законами сохранения энергии и заряда, законом Ома, тем, что при максимальном значении изменяющегося тока его производная по времени равна нулю (вспомним исследование функций) и ЭДС самоиндукции тоже, соответственно, равна нулю, и другими соображениями.

Вернѐмся к нашей задаче. Пусть в момент, когда ток максимален и равен I0 , заряд на нижней обкладке конденсатора q . Такой же суммарный заряд пройдѐт с момента замыкания ключа и через источникE0 , и источник совершит работу qE0 .

По закону сохранения энергии работа источника пойдѐт на изменение энергии магнитного поля катушки индуктивности и электрического поля в конденсаторе:

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

27

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

Исключая из (33) и (35) q, находим, что максимальное значение тока

I0 E0 CL .

Контрольные вопросы

1. К катушке приближается постоянный магнит (рис. 20). В каком направлении течѐт ток через лампочку? Куда направлена сила, действующая на катушку со стороны магнита?

2.В кольцо вдвигается магнит. Какое электромагнитное явление наблюдается

вкольце из:

а) проводника; б) диэлектрика?

3.Две катушки намотаны на общий железный сердечник (рис. 21). В каком направлении потечѐт ток через гальванометр G после замыкания ключа?

4.Не выполняя тригонометрических преобразований, найти амплитуду A и циклическую частоту следующих гармонических колебаний:

5. Груз колеблется вдоль оси x по закону x 8sin 4t 0,3 , где t в се-

кундах, x в сантиметрах. Найти амплитудные значения скорости и ускорения груза.

6. Шарик, висящий на пружине, неподвижен. Шарику толчком сообщили скорость v0 0, 4 м/с , направленную вертикально вниз, и одновременно начали отсчѐт времени. Найти амплитуду колебаний и записать закон изменения координаты x шарика. Ось x направлена вертикально вверх. Масса шарика m 0,1кг, жѐсткость пружины k 1,6Н/м.

7. Ускорение свободного падения на поверхности Марса 3,7 м/с2 . Как и во

сколько раз изменятся периоды колебаний математического и пружинного маятников на Марсе по сравнению с Землѐй?

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

28

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

8. В колебательном контуре без затухания при свободных колебаниях максимальный ток в катушке индуктивности I0 66 мA , а максимальное напряжение

на конденсаторе U0 11 B . Ёмкость конденсатора C 0,36 мкФ . Найти индуктивность контура.

9.При каких условиях свободные колебания в колебательном контуре можно считать собственными?

10.При каких скоростях поезда можно ожидать особенно сильное раскачива-

ние шарика, подвешенного в вагоне на нити длиной l 80 см ? Расстояние между стыками рельсов L 20 м .

Задачи

1. Проводящий стержень MN длиной l расположен параллельно диагонали BD куба (рис. 22). Стержень движется поступательно с постоянной скоростью v вдоль ребра AB в постоянном однородном магнитном поле с индукцией B , направленной вдоль ребра B B . Найти ЭДС индукции в стержне.

2. Проводящий стержень вращается с угловой скоростью 300 с 1 вокруг

оси O в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям магнитного поля с индукцией B 1 Тл (рис. 23). Одним концом стержень скользит по проводнику в

виде дуги окружности радиусом r 10 см . Между проводником и осью O включены батарея с ЭДС 4,5 B и резистор. Сопротивление резистора и внут-

реннее сопротивление батареи в сумме составляют R 15 Ом . Какой ток течѐт через резистор? Сопротивлениями стержня и проводника пренебречь.

3. В цепи (рис.24) R 37 Ом, r 3 Ом , 9 В, L 0, 03 Гн . С какой скоростью будет возрастать ток после замыкания ключа К в момент, когда ток достигнет значения I0 0, 075 A ?

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

29

2012-2013 уч. год, №4, 11 кл. Физика. Электромагнитная индукция. Колебания

4. Катушка из n витков, площадь каждого из кото-

нием катушек и проводов, определить величину тока, возникающего в катушках после выключения поля. Ин-

дуктивности катушек L1 и L2 . (МФТИ, 1982)

5*. Конструкция (рис. 26) из жѐстко соединенных

лѐгкого стержня и небольшого шарика массой m может совершать колебания под действием двух пружин с жѐсткостями k1 и k2 , двигаясь при вращении без

трения вокруг вертикальной оси O по гладкой горизонтальной поверхности стола. Пружины лѐгкие, их оси горизонтальны, а точки их прикрепления к стержню делят его на три равные части. В положении равновесия оси пружин перпендику-

лярны стержню, и пружина с жесткостью k1 растянута на величину L1 .

1)Найти деформацию второй пружины в положении равновесия.

2)Найти период малых колебаний конструкции. (МФТИ, 1996)

6.На пружине жесткостью k висят два груза, связанные нитью (рис. 27). После пережигания нити верхний груз стал колебаться с

амплитудой A . Найти массу нижнего груза. (МФТИ, 1996)

7.Колебательный контур, состоящий из катушки ин-

30