§ 4. Действие с отношением «целое — части» как возможный компонент арифметического способа решения задач

Методика обучения. 1. Отношение «целое — части» вводится на предметных моделях: например, дается полоска бумаги, обозначаемая как «целое», которая потом разрывается на две «части». Части соединяются — полученная из них полосочка называется «целое».

2. От целой полоски отрывается или отсоединяется часть. Это действие обозначается в выражении: «От целого отняли часть». Соединение частей обозначается так: «К части прибавили часть». Кроме того, формулируются предложения: «К части прибавить часть — получится целое», «От целого отнять часть — получится часть»¹.

3. Вводятся знаковые обозначения целого и частей:

О — целое, D — часть, а также следующие формулы:

D + D («к части прибавить часть»)

О — D («от целого отнять часть»),

D + D = О («к части прибавить часть — получится целое»).

Занятие проводилось в следующей форме: испытуемый выполнял действие на предметах, экспериментатор составлял формулу, фиксирующую это действие, потом они менялись местами и т. д. Двое из испытуемых обучались в серии с переходом от присчета к арифметическому действию (Саша К., 5 лет 3 мес., Вова Б., 6 лет), и трое детей обучались в серии с отношением равенства (Алла А., 4 г. 9 мес., Таня Л., 5 лет 3 мес., Наташа 3., 5 лет 3 мес.).

Результаты. Дети не испытывали затруднений при усвоении отношения «целое — части» на предметных моделях. Они могли также потом ответить на вопросы: «К части прибавили часть, что получится?», «От целого отнять часть, что получится?» — и перейти к правильному словесному описанию выполненного на предметах действия, используя заданную форму словесного описания. Однако изображение

__________________

¹ Такие как будто неправомерные с точки зрения обычного употребления терминов выражения («прибавить» вместо «присоединить», «отнять» вместо «отделить») использовались для детей данного возраста специально, чтобы сократить число шагов по замене словесных терминов припереходе к формуле, у более старших детей можно было использовать разные словесные обозначения при описании предметного действия («присоединить», «отделить») и знаковых операций («прибавить», «отнять» или «плюс», «минус»)

 Конец страницы 366 

 Начало страницы 367 

этого действия в знаковой формуле вызвало большие трудности у детей. Они ставили либо все значки подряд, либо, случайно выбирая отдельные значки, не могли правильно употреблять в соответсвующих ситуациях две разные формулы О – D = D и D +D = O.

Дальнейшие эксперименты и теоретический анализ показали, что эти трудности связаны прежде всего с особенностями усвоения детьми дошкольного возраста таких действий, в которых структуры предметных и знаковых операций не изоморфны.

Эта сторона обучения подробно анализируется нами в другой работе. Введение специальных педагогических условий, учитывающих эту характеристику данной структуры действия и особенности ее усвоения у детей, привело к тому, что все наши испытуемые стали правильно использовать все знаки формулы, кроме одного знака «=». Испытуемые, как правило, не включают этот знак в формулу

D + DO,

а, включив неправильно, прочитывают ее, обозначив знак равенства другим словом:

D + D = O

(«часть прибавить часть целое целое»), либо же совсем его не называют («часть прибавить часть целое»).

Все условия, направленные на преодоление трудностей, связанных с неизоморфизмом предметной и знаковой операций, не сняли указанных ошибок в использовании знака «=» в формуле.

Это заставило предположить, что данные трудности обусловлены не особенностями усвоения, а какими-то другими причинами.

Соотнесем теперь результаты введения формулы типа А + Б = В (В — Б = А) на основе действия по установлению равенства и уравнивания, с одной стороны, и действия с отношением «целое — части», с другой. В первом случае при составлении формулы дети включали в нее знак «=», но неправильно использовали (или совсем не использовали) знаки «+» и «—». Полученные данные позволили предположить, что дети не могли соотносить один объект с другим, который рассматривался бы как продукт, как результат определенного действия. При введении формулы на основе действия с отношением «целое — части» испытуемые правильно выбирали знаки «+» и «—».

При действии с отношением «целое — части» объекты

 Конец страницы 367 

 Начало страницы 368 

или объективная ситуация оказываются связанными по способу их введения с определенными операциями: ситуация «часть и часть» есть в то же время ситуация их соединения, ситуация «целое и часть» есть в то же время ситуация отделения части от целого.

Здесь поэтому не происходило такого отрыва объекта от операций, который имел место при действии с отношением равенства и при уравнивании. Это и создавало возможность правильно выбирать знак «-f-» или «—» и включать его в формулу.

Однако при введении формулы на основе действия с отношением «целое — части» нарушался другой фрагмент формулы. Испытуемые теперь не использовали знак «=». Трудности при использовании знака « = » и сравнение особенностей составления формулы на основе отношения равенства и отношения «целое = части» позволяют предположить, что в этом случае не выделяется операция сопоставления, что как раз имело место при действии с отношением равенства. Следовательно, и в этом случае мы не добились еще полноты того содержания и тех средств, которые необходимы для того, чтобы дети могли правильно составлять формулы типа А + Б = В, В — Б = А.