§ 3. Действия по установлению отношения равенства — неравенства и уравнивание как возможные компоненты арифметического способа решения задач

Методика ¹. Сравнение предметов по длине и ширине (через прикладывание их друг к другу). Введение понятий «равны», «не равны» и выбор соответствующего знака (« = » или « = »).

2. Обозначение результатов сравнения формулами А = В, A В.

3. Уравнивание неравных отрезков (используются бумажные полоски): А не равно В. Присоединим к В такой кусочек Б, чтобы эти полоски стали равны (составляется формула А = В + Б); от А уберем такой кусочек Б, и эти полоски стали равны (формула В = А — Б

Предполагалось затем ввести сюда числа. Однако оказалось, что в результате трех предшествующих этапов обучения не удается получить такого продукта, на основе которого можно было бы ввести числовую формулу. Поэтому способ, которым мы предполагали ввести здесь арифметическую формулу, описывать пока нет необходимости.

Опыты проводились с шестью детьми: Лиля Т. (4 г. З мес.), Марина К. (4 г. 5 мес.), Юра Г. (4 г. 7 мес.), Алла А. (4 г. 9 мес.), Наташа 3. (5 лет. З мес.), Таня Л. (5 лет 3 мес.).

Результаты 1. Сравнение предметов по длине, по росту и т. д. не затруднило ни одну из наших испытуемых. При введении знаков пытались сначала прикладывать таблички с буквами друг к другу. Но это легко было преодолено ².

2. Уравнивание отрезков в предметном действии и словесное описание произведенного действия также не вызвали никаких затруднений у наших испытуемых. Они присоединяли к одному из отрезков «кусочек» или отрывали лишний «кусочек», чтобы получить равные отрезки. Однако обозначить выполненные действия формулой дети не могли, как и правильно выбирать знаки «+» и «—» при составлении формулы.

___________

¹ Данная методика в основном аналогична методике введения отношения равенства и действия уравнивания, описанной В. В Давыдовым [5].

² В специальном исследовании и экспериментах с детьми (3—4 лет) мы более подробно проанализировали структуру действия установления равенства — неравенства. Она оказывается довольно сложной включает ряд операций в определенной связи. В данной статье мы опускаем изложение этих результатов

 Конец страницы 362 

 Начало страницы 363 

Когда при уравнивании к отрезку А присоединяли кусочек Б, действие фиксировалось в формуле A + Б, или, если от отрезка А убирали кусочек Б, это обозначалось формулой А — Б. Дети усвоили эти обозначения и правильно их использовали.

4. Таким образом, у наших испытуемых были отработаны теперь оба элемента формулы: обозначение результата сравнения отрезков по длине (А = Б, А Б) и обозначение операции увеличения или уменьшения отрезка (А + Б, А — Б). Дети выполняют практическое уравнивание и описывают словесно выполненное действие. Однако использовать формулу А = Б + В (А = В — Б), как описывающую данное действие, они по-прежнему не могут.

Испытуемые действуют при этом следующими двумя способами:

а) вместо целостной формулы они используют только отдельные ее фрагменты, составляя следующие выражения: А = Б и реже: В + Б, В — Б;

б) при дальнейших занятиях они начинают составлять формулу А = ВБ, т. е. пропускают знаки « + » или «—».

Напомним, что практическое уравнивание и словесное описание этого действия доступны этим испытуемым.

Данные результаты приводят нас к двум гипотезам относительно их объяснения.

Гипотеза первая. Дети не могут фиксировать в формуле больше одного действия (или операции). Поэтому они при первом способе отображают в формуле либо только операцию установления равенства (составляя формулу А = Б), либо увеличение или уменьшение отрезков (В + Б, В — Б), а при втором способе, фиксируя отношение равенства, они не отображают в формуле операцию, посредством которой это отношение было получено.

Проверяя эту гипотезу, мы провели следующие две серии экспериментов.

В I серии мы предлагали детям обозначить в формуле два выполненных перед этим действия: к одному отрезку присоединяли другой, а затем третий или сначала присоединяли отрезок, а затем кусочек отрывали и т. п. Дети без особых затруднений перешли к обозначению этих действий в формулах А + Б + В, A-J-B — Б и т. д. Таким образом, построение формулы, описывающей последовательные действия, было доступно нашим испытуемым.

Во II серии дети фиксировали в отдельности каждую из

 Конец страницы 363 

 Начало страницы 364 

операций действия уравнивания, получая нужную формулу: сначала они обозначают операции увеличения или уменьшения отрезка В + Б или В — Б, затем сравнивают полученный отрезок с третьим и достраивают формулу В + Б = А. В то же время составить сразу формулу А = В -+- Б, как обозначающую действие уравнивания в целом, они не могут.

Эти результаты показывают, что дети могут строить формулу, если они фиксируют в ней ряд последовательных действий. Отсюда возникает промежуточная гипотеза. Может быть, причина описанных трудностей лежит в том, что дети не могут фиксировать и, значит, прежде всего теоретически учитывать одновременно два действия или две операции? Подобного рода интерпретации — на другом материале — мы часто встречаем у Пиаже, для которого симультанность действий — один из основных механизмов операторного уровня.

Однако правомерно поставить вопрос: в чем природа этого феномена — отсутствия симультанности до определенного уровня развития ребенка; как может быть содержательно охарактеризован и объяснен данный феномен? «Динамические» интерпретации — недостаточная подвижность и т. п.— вряд ли могут служить здесь объяснением.

Для выяснения этого вопроса была осуществлена III серия опытов. Теперь фрагмент формулы В + Б уже не был связан с операцией увеличения отрезков, а обозначал определенный объект. Экспериментотор говорил детям: «Эти отрезки вместе называются В + Б» В этом случае испытуемые использовали формулу А = В + Б. Но когда отрезок обозначался В — Б, то использовать формулу А = В — Б, как отображающую результат уравнивания, дети не могли.

На основании этих результатов мы сформулировали следующую, вторую гипотезу. Причина описанных затруднений при данной методике обучения в том, что дети не могут выполнять такое соотнесение объектов (ситуаций), при котором один из них должен выступить как продукт, как результат определенного действия. Поэтому в случае, когда В + Б обозначает не результат действия, а лишь объект сам по себе, дети могут составить формулу. Однако подобный способ действия не может использоваться с случае уравнивания путем уменьшения исходного отрезка.

Таким образом, согласно данной гипотезе, использование формулы А = В+Б (А — В — Б) требует выделения

 Конец страницы 364 

 Начало страницы 365 

такого отношения между совокупностями, при котором один объект рассматривается как равный другому, выступающему в виде продукта определенного действия (увеличения или уменьшения отрезка). Следовательно, выделение содержания формулы А = В + Б (А=В — Б) требует по крайней мере следующих операций и действий:

а) установления отношения равенства — неравенства двух отрезков;

б) увеличения и уменьшения отрезков в процессе практического уравнивания;

в) установления равенства одного объекта с другим, который рассматривается как продукт одной из двух операций (увеличения или уменьшения).

Применяемая нами методика обучения не обеспечивала формирование последнего действия. Дети овладели лишь операциями, которые указаны в пунктах а) и б) каждой в отдельности, и их знаковой фиксацией, но не могли рассматривать эти операции в связи друг с другом, в их взаимосвязи, так как это могло быть возможно лишь при наличии действия, описанного в пункте в).

Итак, мы получили следующие результаты:

1. Анализ действия по установлению отношения равенства и уравнивания позволил конкретизировать ту слишком общую характеристику содержания арифметической формулы, которая была дана в предыдущем разделе. Теперь мы уже можем говорить не просто о выделении отношения совокупностей, но об определенном отношении, которое и характеризуется операциями и действиями, описанными в пунктах.

2. Выяснено, какие части или стороны этого содержания могут быть выделены посредством действий установления равенства — неравенства и уравнивания (включая операции их знаковой фиксации).

3. Сформулировано требование к новому средству (см. п. в).

Поскольку средство выполнения этого действия, особенно в его отношении и связи со всеми другими операциями и действиями должно иметь сложную структуру, мы, как и в предыдущем шаге исследования, будем искать и анализировать это средство не методом искусственной трансформации и дополнения действий установления равенства и уравнивания, а обратимся к анализу другой, уже сложившейся системы средств. На этом пути может быть подтверждена или опровергнута и сформулированная нами гипотеза.

 Конец страницы 365 

 Начало страницы 366 