III. Анализ и конструирование отдельных элементов способа § 1. Задачи данного раздела исследования

Арифметические операции не могут быть непосредственно применены к конкретным условиям, описанным в тексте задачи. Поэтому вопрос о других необходимых средствах, входящих в способ решения, есть одновременно вопрос о плоскости того содержания, к которому могут быть отнесены операции сложения и вычитания. Разные средства могут задавать различные плоскости такого содержания.

В данном разделе исследования мы поставили задачу проанализировать в качестве возможных средств выделения содержания операций сложения и вычитания в связи с конкретными условиями следующие действия:

1) предметный счет в форме присчитывания и отсчитывания.

2) действие установления отношений «равенства — неравенства».

2') действие уравнивания.

3) действие установления отношения «целое — части».

Следующие два условия определяли общий характер работы по указанным трем линиям: а) в способ должны войти только необходимые элементы. Анализируя каждое из трех действий, мы выделяли в них те стороны, которые предположительно могли бы быть связаны с использованием арифметических действий. А это определялось полученными требованиями к способу, а также знанием о результатах предшествующих исследований в этой области; б) обучение должно было строиться таким образом, чтобы сложение и вычитание вводились в связи с данными действиями, а непросто следовали за ними во времени. Это определяло построение методик.

В данной части исследования мы должны получить следующий продукт:

1) при анализе указанных трех действий выявить, какие компоненты способа могут быть получены в каждом из них,

 Конец страницы 356 

 Начало страницы 357 

имея в виду функцию этих компонентов в способе и их структуру;

2) получить данные о дефектности способа, включающего каждое из этих действий в отдельности, что С дет основанием для формулирования новых, более конкретных требований к недостающим компонентам способа.

§ 2. Введение арифметического сложения и вычитания наоснове присчитывания и отсчитывания по одному

Методика обучения. 1. Сначала дети решают задачу способом предметного присчитывания.

2. Затем вводится фиксация условий задачи с помощью числовых знаков

3. Дети учатся определять направление счета — считали ли они «вперед» (присчитывание) или «назад» (отсчитывание) — и в зависимости от этого выбирать арифметический знак «+» или «—». Этим совершенно искусственным приемом мы дополнили принятую методику обучения, для того чтобы арифметические действия и присчитывание (отсчитывание) были даны в обучении не «рядом», или во временной последовательности, а в связи друг с другом. Конечно, можно было бы задать другое содержание и форму такой связи Однако анализ экспериментальных материалов должен показать, зависят ли результаты обучения от того, что арифметические действия оказываются связанными с действием присчета или от содержания и формы этой связи, используемых в данном обучении.

В процессе обучения дети должны были перейти сначала к присчитыванию и отсчитыванию без предметов и фиксации решения в арифметической формуле, а затем к использованию арифметических действий вместо реально выполняемых присчета или отсчета.

Опыты мы проводили с детьми, которые умели решать задачи способом присчитывания и отсчитывания по одному ии не использовали в то же время арифметическое сложение и вычитание (всего 5 человек: Саша К., 5 лет, Сережа Ф., 5 лет 6 мес., Вова Б., 6 лет, Юра Г., 6 лет 6 мес., Лена К., 7 лет).

Результаты. После двух — четырех занятий дети начинают использовать присчитывание и отсчитывание без предметов. Они фиксируют, считали ли они «вперед» или «назад», и составляют арифметическую формулу. Приведем пример. '• Испытуемый Саша К. (5 лет).

 Конец страницы 357 

 Начало страницы 358 

Задача: «У сестры было 4 яблока, 2 она дала брату. Сколько яблок у нее осталось?»

Эксп. Поставить цифры: у сестры сколько?

Исп. Четыре (ставит цифру «4»). Экс. Потом что было?

Исп. 2 отдала она брату своему (ставит цифру «2»). Эксп. Сколько у сестры осталось яблок?

Исп. 4, одно отдала — осталось 3, еще одно — осталось 2 яблока.

Эксп. Как ты считал — вперед или назад?

Исп. Назад: 4, 3, 2...

Эксп. Значит, какой значок поставишь сюда?

Исп. Отнять (ставит между цифрами знак «—»).

Эксп. И запиши, сколько получилось.

Испытуемый ставит остальные знаки и получает формулу 4 — 2=2.

Старшие дети проделывают все эти операции сами, без побуждений со стороны экспериментатора.

Когда был достаточно усвоен и закреплен описанный способ, мы ввели (на шестом занятии) новое требование. Дети должны были, не выполняя присчитывания или отсчи-ттывания, сразу составить арифметическое выражение.

По особенностям действий в этих условиях испытуемых можно разделить на две группы. Старшие дети (7 лет и 6 лет 6 мес.) могли правильно выбрать знак «+» или «—» без осуществления реального присчета или отсчета (первая группа). Остальные правильно составляли формулу только после того, как они решали задачу, присчитывая или отсчитывая по одному (вторая группа).

Понять причины, лежащие в основе различных результатов, помогает анализ особенностей решения и записи косвенных зада' детьми этих двух групп.

Дети второй группы решают косвенные задачи так же, как и прямые,— присчитыванием и отсчитыванием — и после этого осуществляют правильное построение арифметической формулы. Дети первой группы, решая косвенные задачи, дают правильный ответ, а арифметическое выражение строят неправильно. Приведем примеры.

Задача: «Сидели птички; 2 улетели, 3 остались. Сколько птичек сидело сначала?» Лена К. (7 лет) отвечает: «Сидело 5 птичек» — а формулу составляет так: «5 — 2 = 3». Юра Г. (6 лет 6 мес.) в задаче: «Сидели птички. Прилетели еще 2 птички, и всего их стало 5. Сколько птичек было сначала?» —

 Конец страницы 358 

 Начало страницы 359 

дает правильный ответ: «Три». На вопрос экспериментатора, как ты узнал, отвечает: «Я посчитал — 1, 2, 3» — и составляет запись: «3 + 2 = 5»

Эти данные могут быть интерпретированы следующим образом. У старших детей в результате проведенного обучения образовались два способа решения арифметических задач: они решают задачу, используя присчитывание и отсчитывание по одному, и в то же время выбор арифметического знака они стали ориентировать не только направлением счета, но и другими, внешними по отношению к счету ммоментами — прежде всего повторяющимися элементами словесного текста условий, например, выражениями «дали», «отдали», «улетели», «прилетели» и т. д. Именно это и дало возможность старшим детям справиться с прямой задачей, когда они были поставлены перед требованием составить арифметическое выражение до выполнения присчета или отсчета. Этот же способ записи дети перенесли и на решение косвенных задач. Выполняя решение путем присчета и отсчета, они составляли формулу, ориентируясь по-прежнему на выражения словесного текста. В результуте запись оказывалась несоответствующей пути решения задачи. Это отличалось от того, как действовали младшие дети (первая группа), у которых функционировал только один способ; арифметическую запись и в прямых и в косвенных задачах они составляли только на основе (и после) присчитывания и отсчитывания по одному и поэтому переходили к формуле только после выполнения этих действий.

В течение десяти последующих занятий дети первой и второй групп решали описанными способами различные задачи. После таких многократных упражнений дети действовали следующим образом. Двое испытуемых (Саша К., 5 лет, и Сережа Ф., 5 лет 6 мес.), как и раньше, составить формулу могли только после выполнения присчета или отсчета. До реального их осуществления они не могли даже ответить на вопрос, «вперед» или «назад» они будут считать.

Один мальчик, который раньше входил в первую группу,— Вова Б. (6 лет) — начал составлять формулу, не осуществляя присчет или отсчет. Однако при этом он также не мог ответить, до осуществления счета, «вперед» или «назад» он будет считать. Решение косвенных задач обнаружило, что ребенок опирается при составлении арифметической формулы на фрагменты словесного текста (например, при выражении «мальчику дали» он ставит знак «+-», хотя в решении требуется операция вычитания).

 Конец страницы 359 

 Начало страницы 360 

Наконец, двое старших детей — Юра Н. (блет 6 мес.) и Лена К. (7 лет) — решают прямые и косвенные задачи, ориентируясь теперь только на фрагменты текста. Поэтому решение косвенных задач соответствует у них записи формулы и не отвечает условиям предложенных задач. Так, ту же задачу: «Сидели прички. Прилетели еще 2 — и стало 5. Сколько птичек сидело сначала?» — они сразу записывают так: 5 + 2 = и присчитывают после этого к пяти два по одному.

Результаты дополнительной серии обучения. В дополнительной серии мы обучали детей (четверо испытуемых, 5 лет 6 мес. — 6 лет 6 мес ) переходить к сложению и вычитанию чисел от присчета и отсчета по принятой методике, не вводя специальных моментов по связыванию этих двух действий Дети сначала решали задачу присчитыванием и отсчитыванием, а затем записывали решение в арифметической формуле. После 15 занятий один мальчик, решая новую задачу, не мог правильно выбрать знак «+» или «—» при составлении формулы даже после того, как он выполнил присчет или отсчет. Он так и не перешел, следовательно, к использованию арифметических действий. Остальные дети стали составлять формулу, но при этом они ориентировались на повторяемые в разных задачах словесные формулировки, что сразу же обнаружилось при решении косвенных задач.

Выводы. Арифметические операции должны быть включены в способ, который позволял бы осуществлять решение задачи вне предметного действия с единицами заданных совокупностей. Получим ли мы такой способ в том случае, если арифметические операции тем или иным образом связать с действиями присчета и отсчета? В данном параграфе мы описали, особенности эмпирического проявления такой связи при анализе ее экспериментальной модели

Были исследованы разные типы таких моделей:

1. Получение арифметических операций как результата многократного повторения и сокращения присчитывания и отсчитывания. В этом случае присчитывание и отсчитывание не входили бы непосредственно в способ решения задачи, а были бы генетическими «предшественниками» арифметических операций. Само это «предшествование» здесь может иметь разный смысл. Например, присчет и отсчет создают то содержание, к которому относятся затем арифметические операции, или структуры присчета и отсчета и т. д. Результаты экспериментального обучения детей дошкольно-

 Конец страницы 360 

 Начало страницы 361 

го возраста и анализ школьного обучения детей 1 класса показали, что арифметические операции не возникают как сокращения, преобразованная форма присчета — отсчета. 2. Включение присчета — отсчета в способ решения. Здесь анализировались два типа экспериментальных моделей способа:

а) присчет — отсчет и сложение — вычитание включались в способ как рядопсложные средства. Дети решали задачу, используя присчет и отсчет, а затем должны были записать условия и решение в арифметической формуле. При таком обучении дети не переходили к правильной записи формулы, а тем более не могли использовать ее при различных конкретных условиях задач;

б) вводилась определенная связь присчета — отсчета и сложения — вычитания, которая задавалась в обобщенной форме. При таком способе дети могли использовать арифметическую формулу, но только в одной функции: как средство фиксации реально выполненных присчета или отсчета Перейти к арифметической формуле, как обеспечивающей решение вне обращения к поединичному предметному действию, они не могли.

Можно думать, что способ, который создавался при описанном типе обучения, оказывался внутренне противоречивым: присчитывание и отсчитывание связаны с поединичным восстановлением совокупностей (по крайней мере второго слагаемого), а сложение и вычитание должны дать возможность не действовать с поединичной совокупностью. Но тогда содержание и структура присчета — отсчета, с одной стороны, и сложения — вычитания чисел, с другой, должны быть принципиально различны. Поэтому получить сложение — вычитание в данной функции из счета — отсчета (как преобразованную их форму — модель первого типа) или при связи их со счетом — отсчетом (модели типа 2а и 26) оказывается невозможным.

Следовательно, довольно распространенное представление о том, что сложение и вычитание являются особой формой выполнения предметного счета и что переход к сложению и вычитанию у детей осуществляется в процессе преобразования пересчета или присчитывания, не подтверждается результатами исследования.

 Конец страницы 361 

 Начало страницы 362 