III. Формирование арифметико-геометрических задач и геометрических способов решения задач § 1. Прямые задачи

1. Рассмотрим, например, как мог сформироваться арифметический способ решения следующей задачи, которую мы отнесли к классу прямых: величина одного поля а, а другого Ь; определить величину поля В, полученного в результате соединения этих полей (или величину поля, полученного при вычитании полей, когда от поля величиной а отрезали поле величиной Ь). На первом этапе, естественно, эта задача должна была решаться с помощью уже сложившихся способов. По ним решение нужно строить так: первое поле присоединить ко второму (или от первого поля отрезать второе) и полученное поле измерить. Этот процесс можно изобразить в следующей схеме:

 Конец страницы 249 

 Начало страницы 250 

где x₁ — первое поле; x₂ — второе поле; (О₁) — число, выражающее величину первого поля; (О₂) — число, выражающее величину второго поля. Символом обозначена операция соединения полей или операция отделения части поля (дальше мы будем говорить просто отделение), В результате операции А. из первого и второго полей получается поле хз, величина которого выражается в числе (О₃).

Новый способ вычисления, по которому нужно сложить числа а и Ь или из числа а вычесть о, может возникнуть, если данная задача в некоторых случаях не решается с помощью описанного здесь способа.

Такие случаи возникают, когда поле В нельзя измерить и в то же время необходимо вычислить его величину. В новом способе решения этих задач операции с полями (объединение и отделение) переносятся в знаковый план, а число с, фиксирующее величину поля В, получается непосредственно из данных чисел а и Ь. Необходимым условием для такого решения является знание о том, что «число с — результат измерения двух объединенных полей, имеющих величины а и Ь,— равно сумме чисел а и b».

Если обозначить это знание символом А, то строение сформировавшейся процедуры решения задачи можно изобразить следующим образом:

 Конец страницы 250 

 Начало страницы 251 

Здесь знание А обеспечивает переход от процедуры, изображенной в левом блоке схемы (11), к процедуре, изображенной в правом блоке; операция Δ_І — сложение или вычитание чисел (О\) и (О?) (для других типов прямых задач — это деление или умножение).

2. Для трансляции системы операций, изображенной в модели (11), также должны использоваться рисунки с числами. Например, для задач на соединение полей рисунки с числами должны быть такими:

где а, Ь, с — конкретные числа; для задач на разделение полей — такими:

Здесь в первом случае рисунок поля В получается из рисунка первого поля, когда к нему пририсовывается рисунок второго поля, а во втором случае — когда от рисунка первого поля отчеркивается рисунок второго поля.

При трансляции сложившегося способа решения данные рисунки с числами начинают выступать в качестве моделей полей x₁ х₂, х₃; это возможно, так как рисунки с числами по отношению к объектам x₁ х₂, х₃ являются знаками-моделями. В результате действия с полями как бы переносятся в плоскость рисунков: действия с полями имитируются в действиях с рисунками (например, действию пририсовывания ставится в соответствие действие объединения полей, действию отчеркивания — действие отделения). Все это позволяет применять знание А уже непосредственно к рисункам полей:

 Конец страницы 251 

 Начало страницы 252 

где М₁—.рисунок первого поля; М₂ — второго; М₃—.-третьего; Δ'_: — операции с рисунками (пририсрвывание и отчеркивание); токой линией, обозначена связь сосуществования между рисунками М\Мг и знаками (O_t), (О₂) — в эмпирической интерпретации числами а и b (эта связь «обеспечивается» модельной функцией рисунков полей).

Непосредственная связь между знанием А и рисунками и числами может быть изображена так:

где стрелкой обозначена связь отнесения знания А к рисункам с числами, угловыми скобками — связи между рисунками и числами (эти связи образуются за счет операций Δ' и Δ₁, см. схему (12).

Схемы (12) и (13) позволяют построить описание процедуры решения прямой задачи. В условии этой задачи даны одни элементы — рисунки полей М₁, М₂, М₃ и числа (О₁), (О₂) — и требуется определить другие — число (О₃). Это можно изобразить так:

где угловыми штриховыми скобками обозначены связи между рисунками с числами, заданные в условии задачи. Условимся структуру, изображенную на схеме (14), называть обобщенным объектом задачи. Тогда построение решения прямой задачи можно представить как отнесение знания А к обобщенному объекту прямой задачи — см. схемы (13) и (14),— которое дает возможность построить процедуру.

Следовательно, главную роль в построении процедуры решения прямой задачи выполняет знание А, которое позволяет установить связи между известными и неизвестными элементами условия задачи, т. е. между элементами, задан-

 Конец страницы 252 

 Начало страницы 253 

ными в условии задачи, и теми элементами, которые необходимо определить. Именно эти связи указывают на те операции и процедуры, которые нужно осуществить для решения задачи.