§ 3. Трансляция сложившихся способов вычисления полей2
Некоторые факты эмпирического материала дают возможность предположить, что рисунки с числами использовались не только для восстановления полей, но также как средства трансляции различных алгоритмов. Например, алгоритм подсчета трапециидального поля фиксировался в следующей знаковой группе (для понимания мы заменили вавилонские термины современными):
_____________
1 Характеристика знаков-моделей дана в нашей работе «Семиотический анализ знаковых средств математики». В сб.: «Семиотика и восточные языки». М., 1967.
2 Положения, составляющие содержание этого параграфа, получены нами с помощью функционального, а не генетического анализа. Данные положения понадобятся в дальнейшем (см. IV раздел), при рассмотрении затруднений, возникших при трансляции способов решений арифметико-геометрических и геометрических задач. Преодоление этих затруднений привело к появлению первых собственно геометрических знаний.
Конец страницы 246
Начало страницы 247
Рассмотрим на этом примере, какую функцию при трансляции способи вычисления -выполняли разные знаки-числа, рисунки и геометрические термины1
Чтобы осуществить трансляцию способа вычисления трапециидального поля, необходимо в специальной Знаковой форме зафиксировать: а) тип и последовательность операций, которые образуют вычисление и б) объекты этих операций — числа, которые необходимо сложить, разделить и умножить. Из приведенного здесь образца ясно, что тип и последовательность операций выражаются в последовательности арифметических терминов «сложи>>, «половина», «умножь». Сложнее фиксируются объекты операций. Объекты операций не могут быть выражены ни числами, ни рисунком, взятыми по отдельности. Например, если необходимо вычислить величину трапециидального поля, размеры сторон которого 4, 6, 8,
____________
1Способ вычисления отличается от единичного алгоритма тем, что его можно использовать при решении подобных же задач на вычисление.
Конец страницы 247
Начало страницы 248
то спрашивается, какие числа из указанных здесь нужно складывать, делить и умножать?В анализируемом образце складывались числа 3 и 9, но они сами по себе не могут помочь в выборе тех чисел, которые необходимо сложить в новом случае. Нужно привлечь знание, что 3 и 9 фиксируют длины оснований трапециидального поли. На это указывает рисунок: числа 3 и 9 проставлены у горизонтальных отрезков. Следовательно, сложению подлежат те числа, которые фиксируют длину оснований трапеции: рисунок опять указывает, что это числа 4 и 8, которые связаны с рисунком так же, как числа 3 и 9. Точно так же с помощью рисунка можно определить, что в качестве второго сомножителя берется число 4, фиксирующее величину высоты трапециидального поля,— оно проставлено у вертикального отрезка рисунка. Следовательно, в качестве второго сомножителя во второй задаче нужно взять число 6, так как оно также проставлено у вертикального отрезка рисунка. Полученный результат — число 36, подобно числу 24, проставляется в центре рисунка.
Итак, наличие в образце вычисления чисел и рисунка, связанных между собой,— необходимое условие для фиксации объектов операций. Это означает, что фактически объектами операции являются не числа, а величины, т. е. числа, выражающие определенные предметы, в данном случае выражающие определенные элементы трапеции. В каждой конкретной задаче числа, фиксирующие длину сторон трапеции, меняются, а рисунок трапеции остается неизменным. Это обеспечивает связь нового вычисления с эталонным, выступающим в функции метода. Отождествляя между собой рисунки эталонного вычисления и новой задачи, вычислитель превращает числа, данные в условии новой задачи, в объекты операций. Таким образом, здесь рисунки начинают употребляться еще в одной функции.
На схеме употребление эталонного образца можно изобразить так:
Конец страницы 248
Начало страницы 249
Здесь М а—рисунок эталонного вычисления; М`а — элементы этого рисунка; М`k— рисунок, данный в условии новой задачи (он отождествляется с рисунком Мв ); M`k — элементы этого рисунка; а, b, с,— числа, проставленные у соответствующих сторон рисунка, эталонного вычисления; х, у, z — любые числа, данные в условии новой задачи; Δ— операции, которые образуют эталонное вычисление.
Чтобы прочитать схему (9), достаточно мысленно наложить правую от осевой линии часть схемы на левую. Этой процедуре в реальном употреблении эталонного вычисления соответствует процесс отождествления рисунков и чисел. В результате числа х, у, z займут места чисел а, Ь, с и окажутся связанными с операциями Δ1 Δ2 Δ3 (места чисел а, Ь, с определяются связями этих чисел с операциями в эталонном вычислении и связями с рисунком).