Позднее появляется способ измерения и вычисления пло-

___________

¹ См.: Б. Л. Ван-дер.-Варден. Пробуждающаяся наука., стр. 17; О. Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук, стр. 186.

² См.: Б. Л. Ван-дер-Варден . Пробуждающаяся наука, стр. 17; О. Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук, стр. 186.

 Конец страницы 225 

 Начало страницы 226 

щадей полей, приближающийся к современному. Например, для подсчета площади прямоугольного поля сначала измерялись две его смежные стороны, затем числа, полученные при измерении, перемножались. Каждое вычисление обычно сопровождалось условием задачи и рисунком¹.

Например:

В связи с анализом указанного эмпирического материала можно поставить вопросы, аналогичные тем, которые мы перечислили для второй области. Какие средства использовали египетские и вавилонские математики при решении задач на вычисление площадей полей? Каково строение составляющих деятельности по решению этих задач (условия задачи, процесса решения, метода решения)? Как сформировывались задачи на подсчет площади? Каково строение деятельности, направленной на восстановление и измерение полей, какую функцию в этой деятельности выполняют планы полей? Какую роль при формировании процессов решения арифметических и арифметико-геометрических задач играли алгоритмы вычисления площадей и планы полей? Какие механизмы обеспечили переход от восстановления и измерения полей к процессам решения арифметических и арифметико-геометрических задач? Как и в связи с чем эти механизмы сформировались?

II. Анализ элементов геометрического знания, возникших при решении задач производства

Схемы знаний операций, мыслительной деятельности, описанные нами в разделе 1,§ 3, а также эмпирический

_________

¹ См.: А А Вайма» Шумсро-вавилонская математика, етр. 238— 262.

 Конец страницы 226 

 Начало страницы 227 

материал и результаты его функционального анализа, зафиксированные в § 4, позволяют перейти непосредственно к логическому анализу возникновения и развития геометрических знаний, геометрического предмета.

§ 1. Знаковые средства, обеспечивающие восстановление полей

Новые знания и знаковые средства появляются внутри сложившейся деятельности в результате преодоления возникающих в ней ситуаций разрыва. Следовательно, при моделировании возникновения элементов геометрического знания необходимо прежде всего построить модель данной мыслительной деятельности. Для этого, как мы говорили, нужно последовательно использовать три вида схем: схемы операций, схемы знаний и схемы составляющих мыслительной деятельности.

Эмпирический материал позволяет предположить, что такой мыслительной деятельностью должна быть деятельность по восстановлению границ полей, смытых разливами рек.

Действительно, большинство полей в древнем Египте и Вавилоне располагалось около рек. Каждый год реки разливались и размывали границы Полей, а также изменяли контуры прибрежной плодородной полосы. В связи с этим перед древними каждый год вставала сложная задача — восстановить границы полей. Принтом было необходимо, чтобы каждый земледелец получил ровно столько земли, сколько он имел до разлива реки.

Если рассмотреть обработку земли как деятельность, объектом которой является поле внутри границ, то ситуацию, когда разливы рек уничтожают границы полей, можно рассмотреть как ситуацию разрыва, в которой разрушен объект деятельности (это простейший вид ситуации разрыва).

Частично ситуация разрыва была снята, когда «размер» каждого поля стали фиксировать не только границами, но и тем количеством зерна, которое шло на засев поля. Тогда стало возможно определять «размеры» долей и их частей количеством засеиваемого в них зерна. Заметим также, что при этом использовалось знание.: чем больше величина поля, тем больше зерна идет на засев этого поля. В этом случае систему операций, позволяющую восстанавливать поля,

 Конец страницы 227 

 Начало страницы 228 

можно иэвбравить в следующей модели (читается слева направо)¹.

Здесь Х₀ — зерно, предназначенное для измерения поля х; д — засев этого зерна в поле х*; X — зерно, засеянное в поле х; П-образной линией обозначены связи поля х с зерном Хо, предназначенным для изменения, и зерном X, засеянным в поле х**. Одновременно с засевом зерна Х₀ осуществляется подсчет зерна X, засеянного в поле; ре-

зультат подсчета фиксируется в числе (0). При восстановлении поля у, равного по величине полю х, некоторый участок земли у_о засеивается (∆) зерном X', отсчитанным по числу (0). Как мы утверждали в § 3, для воспроизводства подобной системы операций необходимо зафиксировать в специальных знаках связи, возникшие между элементами операций,— объектами и знаками. Следовательно, для трансляции этой системы операций должны быть зафиксированы связи между знаком (0) и объектами х и у. Это означает, что определенные характеристики объектов х и у должны быть подключены к знаку (0), который теперь должен фиксировать новое объективное содержание. В результате на основе знака (0) формируется новый знак (0'). Это обеспечивается за счет

____________

¹ Эта модель изображается с помощью схем двух типов: схем операций и схем знаний. Кривые стрелки показывают связь между операциями или смену функций объектов. (Отметим также, что с этой главы начинается новая нумерация схем, поскольку они, в отличие от прежних, соотносятся с определенным эмпирическим материалом и выступают в роли моделей).

* Все операции могут быть разбиты на два класса: операции конструирования и операции преобразования. В операциях первого класса из исходных объектов А конструируются конечные объекты В, а в операциях второго класса исходные объекты А преобразуются в конечные объекты В. Операция засева принадлежит к операциям конструирования.

** Эти связи задавались нормами засева. Например, в древнем Шумере существовал такая норма засева (мера площади), как «зерновой хлеб» (более подробно См.: О. Ней red а у эр. Лекции по истории античных^ математических наук, стр. 116—119).

 Конец страницы 228 

 Начало страницы 229 

Формирования нового действия сопоставления ∆₁ с объектами х и у и нового знания¹.

В эмпирическом материале можно найти образование, обладающее свойствами знака (0'). Так, в гтёкстах древних египтян, вавилонян и китайцев мы находим; сложные знаки, состоящие из двух элементов: чисел и знаков мер площади. С их помощью древние землемеры фиксировали величину земли в полях. Характерно, что наиболее древняя мера площади у всех этих народов —«зерно» (si — древнешумерское е)²— совпадает с мерой веса, имеющей тоже название «зерно»³. Этот факт подтверждает нашу гипотезу о генетической связи знаков — чисел, фиксирующих величину зерна и сложных знаков, фиксирующих величину земли в поле⁴.