§ 4. Характеристика эмпирического материала
Еще одно необходимое условие псевдогенетического анализа — правильное выделение эмпирического материала по исходной задаче и его первичный функциональный анализ.
Наша исходная задача — проанализировать развитие и употребление геометрических знаний и других знаковых средств геометрии (чертежей, алгоритмов). В качестве эмпирического материала для этого анализа мы выбрали математические тексты народов древнего Египта, Вавилона, Греции, начиная со II тысячелетия до н. э. и кончая примерно 500 г до н. э. (пифагорейская школа). В них отражены первые этапы развития геометрических знаний. Такое ограничение эмпирического материала объясняется тем, что в пифагорейской школе строение доказательств и геометрических знаний приближается к строению знаний в современной элементарной геометрии и в то же время еще достаточно просто. Поэтому состояние геометрического предмета, сложившееся в пифагорейской школе, можно считать тем, которое необходимо проанализировать в исходной задаче.
_____________
1 Для изображения возникновения новых знаний мы используем схемы типа (2) и (3).
2 Возникновение новых задач и методов изображается в схемах типа (3). (2) и (4)
Конец страницы 219
Начало страницы 220
Опишем теперь более подробно эмпирический материал1.
1. Эмпирический материал разбивается на три области. К первой относятся древнегреческие математические тексты; в них отражено формирование процедуры доказательств теорем и возникновение первых знаний типа «фигура А равна фигуре В»; «элемент (фигуры) А параллелен элементу В». Ко второй — тексты вавилонской математики, главным образом тексты решений арифметико-геометрических и геометрических задач. К третьей — древнеегипетские и вавилонские тексты, в которых имеются планы полей и алгоритмы вычисления площади полей.
2. Древнегреческие математические тексты, в свою очередь, удобно разбить на две части: на тексты, в которых впервые используются знания отношений («равно», «больше», «меньше», «параллельно») между фигурами и их элементами (Фалес и другие геометры, идущие непосредственно за ним), и те, в которых даны первые доказательства теорем (пифагорейская школа). Некоторые сведения об этих периодах имеются у историков математики древней Греции.
В беглом обзоре истории геометрии неоплатоник Прокл утверждает, что Фалес первый доказал теорему: «Диаметр делит круг пополам». Кроме многих других теорем (предложений), он нашел также предложение о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Согласно греческому историку математики Евдему, Фалес открыл также, что при пересечении двух прямых получаются равные углы, но не дал для этого никакого научного доказательства. Он также знал теорему о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два угла2.
Следующий этап в развитии греческой геометрии связан с пифагорейской школой. Согласно Евдему, пифагорейцы открыли предложение о том, что в каждом треугольнике сумма углов равна двум прямым. Эту теорему они доказывали так: «Пусть АВГ будет треугольник. Проведем через А прямую ДЕ, параллельную ВГ. Так как ВГ и ДЕ параллельны, то накрестлежащие утлы равны; следовательно, угол ДАВ равен углу АВГ и угол ЕАГ равен углу АГВ. Прибавим с обеих сторон угол ВАГ. Тогда углы ДАВ, ВАГ и ГАЕ,
____________
1 Тексты и эмпирические знания, приведенные ниже, получены в результате процессов сведения и выведения, которые мы здесь не описываем (см. § 2 и 3).
2 См.: Ван-дёр-В арден. Пробуждающаяся наука. Фйзматгиз. М;, 1959. стр. 121 —125.
Конец страницы 220
Начало страницы 221
составляющие вместе два прямых угла, должны равняться сумме трех углов треугольника. Следовательно, сумма углов треугольника равна двум прямым»1. Таким образом,
пифагорейцы знали уже много теорем (например, о равенстве накрестлежащих углов у параллельных: «при пересечении параллельных линий накрест лежащие углы равны») и имели достаточно строгую форму доказательства.
При функциональном анализе этих текстов мы получили следующие результаты2.
1) В доказательстве теорем участвуют минимум четыре типа геометрических знаний (см., например, приведенное выше доказательство): знания типа «если ..., то ...», «если углы накрестлежащие, то они равны», знание типа «фигура А равна фигуре В»—« угол ∆АВ равен углу АВГ», типа ««это фигура А»—«фигура АВГ — треугольник», типа «это фигура А с определенным соотношением элементов»—«углы ЕАГ и ГАЕ равны», «прямые ∆АЕ и ВГ параллельны» и т. п. В доказательстве используются также два типа объектов оперирования: чертежи, изображающие фигуры, и различные геометрические знания (функцию объектов они имеют в формальных рассуждениях)3.
_____________
1 см.: там же, стр. 163—164.
2 Функциональный анализ некоторых фрагментов элементарной геометрии осуществлен в следующих работах: В . М . Розин , А . С . Москаева. К анализу строения системы знаний «Начал» Евклида. Сообщения I и П. «Новые исследования в педагогических науках», сб. VIII, 1968; сб. IX, 1967; В . М . Розин. Анализ способов деятельности в геометрии, представленных в виде сложной системы. В сб.: «Вопросы активизации мышления и творческой деятельности учащихся» (Тезисы докладов). М., 1964; В. М. Розин. Анализ знаний, образующих систему. В сб.: «Проблемы исследования систем и структур». М., 1965.
3 См.: В. М. Розин,А. С . Москаева. К анализу строения системы знаний «Начал» Евклида. Сообщение II. «Новые исследования в педагогических науках», сб. IX, 1967.
Конец страницы 221
Начало страницы 222
2) Возможность получить в доказательстве одни геометрические знания на основе других, полученных ранее, и тем самым установить связи между знаниями-теоремами определяется прежде всего строением фигур и возможностями преобразования их друг в друга1. Так, у пифагорейцев теорема о сумме углов треугольника связана с теоремой о накрестлежащих углах. Эта связь возникает благодаря тому, что в процессе доказательства теоремы проводится прямая ДАЕ, преобразующая исходную фигуру доказываемой теоремы — треугольник — в другую фигуру, к которой уже применяются известные теоремы, в частности теорема о накрестлежащих углах.
3) Доказательство, как способ получения новых знаний, включает в себя по крайней мере три типа действий: а) преобразование объектов-фигур и последующее рассмотрение чертежа преобразованной фигуры в виде множества различных фигур (в приведенном чертеже можно выделить треугольник, параллельные линии, накрестлежащие углы и другие фигуры); б) получение одних знаний из других по формальным правилам; в) получение знаний путем рассмотрения чертежей, изображающих фигуры, и отнесения знаний к чертежам2. Например, в этой же теореме к построенной линии ДАН было отнесено знание «ДАЕ параллельна ВГ», затем уже при рассмотрении преобразованного таким образом чертежа было получено знание, что «углы ДАВ, ВАГ и ГАЕ составляют две прямые».
4) Кроме того, было выдвинуто предположение, что доказательство теорем происходит за счет единого движения, одновременно включающего в себя эти действия3.
Попытка изобразить доказательство в виде такого движения и привела к проблемам псевдогенетического анализа, к проблемам формирования геометрических объектов, знаний разного типа и доказательства как единого движения в объектах и знаниях4.
3. В Вавилонских математических текстах мы теперь находим несколько типов задач арифметического, геометрического и арифметико-геометрического вида. Разобьем их на четыре класса.
____________
1 См.: та же работа. Сообщение I. «Новые исследования в педагогических науках», сб. VIII, 1966.
2См.:та же работа. Сообщение II. :
3См.:В. М. Розин.А. С. Москаева. К анализу строения системы знаний «Начал» Евклида. Сообщение П.
4 См.: там же .
Конец страницы 222
Начало страницы 223
В первый класс входят задачи, которые мы условно будем называть прямыми. В их условии обычно требуется вычислить площадь поля, полученного при соединении или разделении других полей. Например, в древнем Египте и Вавилоне решалась такая задача: «Площадь одного поля 5, другого 6; нужно определить площадь поля, полученного ют соединения этих двух полей»1.
Второй класс образуют задачи, которые мы будем называть обратными. В их условии обычно дана величина площади поля и одной из сторон и нужно определить величину другой стороны или известна площадь квадратного поля («Поле, площадь его 16, сколько сторона») и необходимо вычислить сторону2.
Третий класс образуют собственно геометрические задачи. В их условии даны величины одних элементов фигур и нужно найти величину других элементов. Такова, например, задача (условие дано в современной терминологии): «Дан
прямоугольный треугольник, разделенный линией, параллельной одному катету, на две части: отрезок катета, образующий сторону трапеции, равен 20, отрезок катета, образующий сторону треугольника, равен 30, площадь получившейся трапеции 320; требуется определить основание трапеции и линию, разделившую треугольник на две фигуры»3. Наконец, древние математики решали большой класс задач, которые в современной терминологии можно назвать задачами на решение полных и неполных квадратных уравнений и задачами на решение системы уравнений канонического типа4. Например, в текстах древнего Вавилона
__________
1 А . А. Вайман. Шумеро-вавилонская математика. М., 1961, стр. 257.
2 Решение обратных задач приведены там же, стр. 11.
3 А . А. .Вайман. Шумеро-вавилонская математика. М., 1961, стр. 110.
4См.: там же, стр. 147—149; Б. Л. Ван-дер-Варден Пробуждающаяся наука, стр. 93—97.
Конец страницы 223
Начало страницы 224
мы встречаем такие задачи: «Три поля квадратной формы 27, узнай сторону» (мы бы сейчас составили уравнение: Зх2=27); или: «Площади двух квадратов я сложил: 1680; сторона второго квадрата равна 1/4 первого, узнай стороны квадратов» (х2+у2=1680, х=1/4у); «Два поля сложены: 60; поле над полем на 20 выдается; каковы мои поля?» (х+у=60, х—у=20) и т. п.
Историки математики уже давно обсуждают возможные способы решения этих задач у вавилонян и задаются вопросами. Какие средства использовали вавилонские математики при решении задач — чертежи, или алгебраические соотношения, или правила, предписания? Каков способ решения этих задач — арифметический, алгебраический или геометрический? Какая необходимость заставила формулировать и решать эти задачи? Одни исследователи, например, Нейгебауэр и Ван-дер-Варден, утверждают, что способ решения этих задач был чисто алгебраический; другие, например С. Я. Лурье, склоняются к геометрическому способу; третьи, например А. А. Вайман, считают, что одни задачи были решены арифметическим способом, а другие — геометрическим '.
Такие представления при оценке уровня знаний древних математиков постоянно приводят к парадоксам. Действительно, если вавилонские математики преобразовывали чертежи, или, более того, алгебраические уравнения, то как получилось, что геометрия и алгебра возникли через несколько тысяч лет? Историки математики отвечают: вавилоняне по существу пользовались геометрией (алгеброй), у них по существу был геометрический (алгебраический) способ мышления, но они не имели современной символики и не оформляли всех выкладок на бумаге. Все важнейшие геометрические преобразования совершались в уме. Отсюда естественно следует вывод о том, что уровень мышления у древних математиков был выше, чем у современных, поскольку ни один современный математик без современной символики и оформления не осуществит тех вычислений и преобразований, которые якобы делали вавилонские и египетские математики в уме.
____________
1 См. более подробно: Б. Л. Ван-дер-Варден. Пробуждающаяся наука. М., 1959, стр. 97, 99; О . Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук. Л., 1937, стр. 8—12, 193—205, 233—239, 196—223; А. А. Вайман. Шумеро-вавилонская математика. М., 1961, стр. 99—102, .) 123—133.
Конец страницы 224
Начало страницы 225
Помимо проблем, которые поставили историки математики, ряд проблем возникает в функциональном анализе решений задач. Вот некоторые из них. Как сформировались вавилонские задачи? Какие знаковые средства используются при решении этих задач? Каково строение таких составляющих деятельности по решению вавилонских задач, как «условие задачи», «процесс решения», «метод решения». Какие образования выступают в функции объекта вавилонских задач и каково их строение?
Наконец, возникает ряд проблем в связи с процессами сведения и выведения. Какие затруднения в вавилонской математике заставляют переходить от решений арифметических задач к введению знаний типа «фигура А равна фигуре В», знаний типа «если ..., то ...», к доказательству теорем? Какую роль при формировании геометрических знаний и доказательств играли процессы решения вавилонских задач и знания, полученные и используемые в этих процессах? Каков механизм перехода от вавилонской математики к греческой?
4. Рассмотрим теперь тексты, образующие третью область эмпирического материала,— древнеегипетские и вавилонские математические тексты. Они отражают возникновение и формирование элементов геометрического знания в связи с производственными задачами.
По преданиям, геометрия возникла в связи с решением задач, вставших в земледелии. Разливы рек смывали границы полей, и для того, чтобы их восстанавливать, народы древнего Египта, Вавилона, Китая использовали планы полей и алгоритмы вычисления площадей2.
Планы полей представляли собой грубо начертанные от руки изображения границ полей (обычно в форме треугольника, прямоугольника и трапеции), на которых были проставлены размеры сторон полей и иногда величина площадей2.
Первые способы вычисления площадей полей представляли собой обыкновенный счет и отсчет: величина поля измерялась количеством мер зерна, засеянного на данном поле.