2.9 Исследование сау с помощью критерия Михайлова

Выполнение этой части работы следует начать с формулировки условия устойчивости по критерию Михайлова. Далее строится кривая Михайлова.

Для построения кривой Михайлова необходимо определить передаточную функцию замкнутой системы по главному задающему воздействию в операторной и частотной форме и рассчитать коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы.

Для получения выражения для передаточной функции замкнутой системы сначала рекомендуется составить выражение для передаточной функции разомкнутой цепи системы , полученное выше (см. п.2.7). Далее для каждого задающего воздействия следует записать выражение передаточной функции соответствующей прямой цепи .

Тогда передаточная функция системы по k-му задающему воздействию определится как

. (2.26)

После подстановки конкретных значений передаточных функций отдельных звеньев, входящих в каждую цепь, передаточные функции по каждому задающему воздействию следует представить в виде дроби, числитель и знаменатель которой - полиномы некоторых степеней. При этом знаменатель последнего выражения является характеристическим полиномом замкнутой системы, и характеристическое уравнение имеет вид

. (2.27)

Применительно к целям работы все дальнейшие расчеты рекомендуется выполнить только для главного задающего воздействия. Необходимо рассчитать коэффициенты характеристического уравнения (2.27). Расчет коэффициентов следует вести с точностью до четырех значащих цифр.

Далее заменой оператора на частотный оператор необходимо представить характеристический полином из левой части выражения (2.27) в виде комплексного выражения (вектора Михайлова) с выделением действительной и мнимой части:

. (2.28)

Полученное выражение позволяет построить кривую Михайлова, описываемую на комплексной плоскости вершиной вектора Михайлова при изменении частоты от 0 до . При этом достаточно определить точки пересечения этой кривой с осями координат комплексной плоскости, вычислить пределы действительной и мнимой части при предельных частотах (и) и соединить полученные точки плавной кривой в последовательности возрастания частот.

После выполнения построения следует определить устойчивость и критический передаточный коэффициент САУ с помощью критерия Михайлова.

Критический передаточный коэффициент – это передаточный коэффициент системы, находящейся на границе устойчивости. Нахождение критических передаточных коэффициентов с помощью критериев устойчивости следует начинать с математической формулировки условия нахождения системы на границе устойчивости в соответствии с применяемым критерием.

Определение критического передаточного коэффициента с помощью критерия Михайлова выполняется через решение системы уравнений, описывающих вектор Михайлова и соответствующих его прохождению через начало координат при частоте (колебательная граница устойчивости). Поэтому условие нахождения системы управления на границе устойчивости можно сформулировать следующим образом:

(2.29)

В результате решения уравнения находится частота , при которой кривая Михайлова проходит через начало координат. Подстановкой найденного значения частоты в уравнение находится значение критического передаточного коэффициента .

Рекомендуемая литература: /3, 4, 7, 9, 12/.