II. Скорость упругих волн в тонком стержне

Пусть в направлении оси x распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объём с площадью оснований S и высотой (рис. 2). Смещениячастиц на разные величиныx в каждый момент времени оказываются различными (рис. 1). Если основание цилиндра с координатой x имеет в некоторый момент времени смещение , то смещение оснований с координатой будет . Поэтому рассматриваемый объём деформируется - он полу­чает удлинение, (- алгебраическая величина, присоответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величинадаёт среднюю деформацию цилиндра.

Наличие деформации растяжения (сжатия) свидетельствует о существовании нормального напряжения , при малых деформациях пропорционального величине деформации. По закону Гука

, (5)

где - модуль Юнга среды. Продольная волна состоит из чередующихся разряжений и сгущений среды. Скорость распространения импульса деформации и есть скорость волны.

Масса цилиндрического объёма при отсутствии деформации:

, (6)

где - плотность среды. При распространении деформации в стержне движется только «уплотнение» («разряжение»), масса же деформированного объёма так жеm:

. (7)

Здесь - изменение плотности вещества (- величина алгебраическая,. соответствует деформаций растяжения). Соотношения (6) и (7) приравняем:

.

После преобразования, учитывая, что и,

получим:

или

.

Тогда

. (8)

При распространении деформации это «уплотнение» последовательно передается от слоя к слою со скоростью . Дело обстоит, таким образом, как если бы импульс деформации обладал массой

и количеством движения

. (9)

Рассмотрим промежуток времени , за который импульс дефор­мации распространяется на расстояние, равное высоте цилиндра. Тогдаи равенство (9) запишется в виде

.

Таким образом, за время через основание цилиндраS слева направо пройдет количество движения и на такую же величину возрастёт количество движения справа от рассматриваемого сечения. Скорость изменения количества движения

. (10)

По второму закону Ньютона она должна быть равна силе, действую­щей на это сечение слева направо и вызывающей деформацию. Тогда, с учётом равенств (5) и (10), получим:

или

.

Отсюда

. (11)

Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению

,

где G - модуль сдвига.

III. Скорость звукового импульса в газе

Газы обладают упругостью сжатия, поэтому в них могут распространяться продольные волны, фазовая скорость которых определяется формулой

где N – модуль упругости для газа, - плотность газа.

При деформации сжатия частицы среды движутся в том же направлении, вдоль которого передаётся импульс. В этом случае относитель­ное изменение объёма газа равно относительному сжатию (разряжению) и вызывается увеличением или уменьшением давления, которое играет здесь роль напряженияв твёрдом теле. Поэтому выражение (5), в данном случае нужно записать следую­щим образом:

и модуль N, следовательно, выразится отношением:

Знак "минус" указывает на то, что с ростом давления объём газа, уменьшается.

Теперь выражение для скорости импульса в газе будет иметь вид:

.

Предполагая зависимость между давлением газа в импульсе и его объёмом адиабатической:

где и вычисляя полный дифференциал этого выражения, получим:

и .

Так как плотность газа

,

то для скорости звукового импульса в газе получим:

, (12)

где R - газовая постоянная (R = 8,31 Дж/моль·К), Т – абсолютная температура газа, М - молярная масса газа, - показатель адиабаты.