4) Найдем показатели экспоненты р1 и p2.

Коэффициенты р₁, p₂ находят, как корни характеристического уравнения:

отсюда

.

Найдем постоянные интегрирования А₁, А₂.

Их находят из начальных условий, т.е. при t = +0, для искомой функции и ее производных. Значения токов и напряжений в начальный момент времени после коммутации (при t = +0) определяют из схемы замещения исходной цепи (рис. 6.24, б), образованной после коммутации (с учетом законов коммутации), по законам Кирхгофа. При нулевых начальных условиях наличие индуктивности равносильно разрыву цепи (i_L(–0) = i_L(+0)), а емкости – короткому замыканию (u_C(–0) = u_C(+0)).

Аналогичную схему замещения можно получить, если считать, что ступенчатому сигналу в начальный момент времени (t = +0) соответствует гармонический с бесконечно большой частотой (ω  ∞).

Схема после коммутации (при t = +0, ω  ∞) приведена на рис. 6.25, б, а произвольные постоянные A₁ и А₂ находят из уравнений:

; .

Из этой системы находим .

Запишем общее решение относительно u₂(t):

.

Окончательное решение зависит от характера корней характеристического уравнения:

а) если , то решение равно сумме экспонент (рис. 6.25, а), оно не периодическое и его (режим переходного процесса) называют апериодическим;

б) если , то корни будут комплексными . В этом случае решение представляет собой гармоническую функцию времени, убывающую по экспоненте (рис. 6.25, б). Такое решение (режим переходного процесса) называют колебательным;

exp1 exp1+exp2 exp2 e–t а б

Рис. 6.25

в) если , то корни одинаковы. Такой режим называют критическим.

Отсюда условием критического режима

;

является соотношение Q = 2.

6.6. Расчет переходных характеристик последовательного колебательного контура

Схема последовательного колебательного контура приведена на рис. 6.26, а.

Для расчета переходной характеристики установим связь между выходным u₂ и входным u₁ напряжениями. Входной сигнал имеет вид ступенчатого напряжения , тогда переходная характеристика h(t) находится из выражения h(t) = u₂(t)/E, где u₂(t) – выходное напряжение.

C C R R а б u2() = E u2(0) = 0 u2(t) E u1(t) L C R L E L i(0) = 0 в

Рис. 6.26

Задачу будем решать классическим способом. За переменную в составляемом уравнении выбираем переменную, характеризующую энергетическое состояние цепи и наиболее просто связанную с выходным сигналом. Такой переменной является напряжение на конденсаторе u_С(t) = u_2(t).

1) Составим дифференцирующее уравнение относительно переменной состояния цепи и приведем его к стандартному виду.

Данная цепь представляет контур, а потому, используя второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениям и токами на элементах схемы, запишем:

; , .

Отсюда

; .

Подставим полученные напряжения в первое выражение:

.

Поделим на LC и введем обозначения .

Получим

.

2) Запишем общее решение.

Оно зависит от выходного сигнала. Если выходной сигнал ступенчатый, то отклик записывается так:

.

3) Найдем вынужденную составляющую общего решения .

Для этого составим схему замещения исходной цепи при t  ∞, (рис. 6.26, б), из которой и получим, что u_2(=0)= E.

4) Найдем показатели экспоненты р₁ и p₂.

Коэффициенты находят, как корни характеристического уравнения:

.

Отсюда

.

5) Найдем постоянные интегрирования А₁, А₂.

Их находят из начальных условий, т.е. при t = +0 для искомой функции, ее производных и послекоммутационной схемы (при t = +0, ω  ∞), которая приведена на рис. 6.26, в. Составим систему

; ,

из решения которой и находим А₁ и А₂

.

6) Анализ корней и запись окончательного решения:

а) если , то корни – отрицательные действительные числа. И окончательное решение записывается так:

Учитывая, что ; , а также, что при βt  0, , окончательно получим:

.

Такое решение называется апериодическим (рис. 6.27).

E u2  > 0 t

Рис. 6.27

б) если , то корни комплексно сопряженные числа. Если проделать то же самое и учесть, что

; ,

то при α << β, получим следующее (рис. 6.28):

E t  = 0– e–t

Рис. 6.28

.

Здесь ω₀ = (LC)^–1 – собственная частота колебательного контура; β = (ω₀ – α)^1/2 – частота собственных колебаний в контуре при наличии резистивных потерь; α = R/(2L) – скорость затухания собственных колебаний в контуре, α =1/τ, где τ = 2L/R – постоянная времени контура.

6.7. Связь между дифференциальным уравнением и характеристиками электрической цепи

1) Для линейной цепи при произвольном входном сигнале х(t) связь между выходным и входным сигналом записывается в виде дифференциального уравнения

.

2) Связь дифференциального уравнения с частотной передаточной функцией.

По определению, частотная функция есть H(jω)=.

Если входной сигнал гармонический

, (6.1)

если цепь линейная, то выходной сигнал обязательно гармонический:

. (6.2)

Подставим (6.1) и (6.2) в дифференциальное уравнение

В результате получим

.

3) Связь частотной с операторной функцией цепи Н(р).

По определению, Н(р) = H(jω)|_jω→p.

Отсюда

.

4) Связь между импульсной и переходной характеристикой g(t) и h(t). Так как , то .

5) Связь между g(t) и H(jω), H(p).

Из спектрального анализа следует выходной сигнал

.

Если , то спектр . Следовательно,

– обратное преобразование Фурье (ОПФ). – прямое преобразование Фурье (ППФ).

Таким образом, все способы описания электрической цепи связаны между собой.

Контрольные вопросы

1. с чем связано возникновение переходных процессов в электрической цепи?

2. В чем заключается классический и спектральный методы анализа линейных цепей?

3. В чем заключается суть анализа линейных цепей методом интеграла Дюамеля?

4. Каков характер переходной характеристики в цепи первого порядка?

5. Как формулируются законы коммутации?

6. Какими основными свойствами обладает единичная функция?

7. Как дифференцирующая и интегрирующая цепи влияют на импульсные сигналы?

8. На вход цепи с операторной передаточной функцией вида K_u(p) = (1+pτ)^–1 воздействует гармонический сигнал s₁(t)=A cos(ωt). Записать отклик.

9. В каких задачах удобен спектральный метод анализа?

10. Нарисовать схему замещения цепи (рис. 6.23) при ω→0 и ω→∞.

11. Для каких целей применяется интегрирующая цепь?

12. Как связаны между собой импульсная и переходная характеристика линейной цепи?

104