АТиСО_Теория вероятностей_2 вариант
.pdf
1. Имеются шесть билетов в театр, четыре из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных билетов два окажутся на места первого ряда?
Решение:
Событие А – выбрано 2 билета на первый ряд.
Всего N |
6 билетов |
Из них N1 |
4 билета в первый ряд |
N1 6 4 |
2 билета в другой ряд. |
выбирается
п1 = 2 билета в первый ряд.
п2 = п – п1 = 3 – 2 = 1 билет в другой ряд.
Число равновозможных независимых исходов равно:
C3 |
6! |
|
4 |
5 |
6 |
20 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
6 |
3! 6 3 ! |
1 |
2 3 |
|
||
|
|
|||||
Подсчитаем число исходов, благоприятных событию А. Среди 3 взятых наугад билетов 2 в первый ряд и 1 в другой ряд. 3 билета в первый ряд из 4
можно выбрать: C |
3 |
|
4! |
|
4 способами, |
а 1 билет в другой ряд из 2 |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
3! 4 |
3 ! |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
билетов: C1 |
2! |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
1! 2 |
1 ! |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Каждая благоприятная комбинация может сочетаться с каждой |
|||||||||
неблагоприятной комбинацией, поэтому C2 |
C1 |
4 2 8 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
Следовательно, P А |
C 2 |
C1 |
8 |
2 |
0, 4 . |
||
4 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
C 4 |
20 |
5 |
|
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Ответ: P А 0, 4.
2. Парабола касается полукруга и проходит через границы его диаметра. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в полукруг, попадает в область ограниченную дугой полукруга и параболой?
Решение:
У
А |
D |
В |
|
2 |
|||
|
|
D |
0 |
D |
Х |
|
|
|
|||
2 |
2 |
|||
|
|
Искомая вероятность будет равна:
РSABC
Sполукруга
Площадь полукруга:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 |
|
||||||||
Sполукруга |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Площадь параболы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
D |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
dx |
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
параболы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
D D |
|
2 |
|
|
|
|
|
D 3 |
|
D |
|
|
|
D |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
3D |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
D2 |
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
D2 |
|
|
|
D2 |
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
12 |
|
|
|
|
|
4 |
|
12 |
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
SABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sполукруга |
|
|
Sпараболы |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Sполукруга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sполукруга |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: Р 0,15.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D |
|
3 |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3D |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3D2 |
|
|
|
|
D2 |
|
|
1 |
D2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
1 |
D2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,15 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения, если на мост сбрасывают три бомбы
с вероятностями попадания 0,3; 0,4; 0,7 соответственно. |
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
Событие А – мост разрушен. |
|
|
|
|
|
Вероятность попадания первой бомбы: |
р1 |
0,3; |
|
|
|
Вероятность попадания второй бомбы: р2 |
0,4; |
|
|
|
|
Вероятность попадания третьей бомбы: |
р3 |
0,7. |
|
|
|
Вероятность промаха первой бомбы: q1 |
1 |
р1 |
1 |
0,3 |
0,7; |
Вероятность промаха второй бомбы: q2 |
1 |
р2 |
1 |
0,4 |
0,6; |
Вероятность промаха третьей бомбы: q3 |
1 |
р3 |
1 |
0,7 |
0,3. |
Вероятность того, что в мост не попадет ни одна бомба:
Q q1 q2 q3 0,7 0,6 0,3 0,126
Вероятность того, что хотя бы одна бомба попадет в мост:
P A 1 Q 1 0,126 0,874
Ответ: вероятность того, что мост будет разрушен, равна 0,874.