u-lectures сопромат

381

Рис. 13.11

Расчеты на устойчивость по коэффициенту уменьшения допускаемых напряжений

При расчете сжатых стержней на прочность требовалось выполнение условия

При потере устойчивости сжатого стержня напряжения в его поперечных сечениях становятся равными критическим. Поэтому необходимо ввести в

расчет коэффициент запаса устойчивости К по отношению к критическим напряжениям, тогда условие устойчивости таково:

Коэффициент запаса устойчивости принимается несколько большим коэффициента запаса прочности. Это объясняется невозможностью точного учета случайных факторов, снижающих величину критической силы (эксцентриситеты, начальная кривизна стержня).

Возьмем отношение правых частей выражений (13.27) и (13.28) и обозначим через ϕ:

ϕ = Kσ[crσ].

Отсюда

382

Тогда с учетом (13.29) условие устойчивости при расчете по методу предельных состояний таково:

где ϕ – коэффициент, уменьшающий расчетное сопротивление материала сжатию R и называемый коэффициентом продольного изгиба. Он всегда меньше единицы и зависит от материала и гибкости стержня. Значения ϕ приводятся в виде таблиц в нормах проектирования (СНиП). В табл. 13.1 приведены значения коэффициента ϕ для стали.

Условие (13.30) позволяет производить три вида расчета аналогичные расчетам на прочность:

1. П

роверка устойчивости выполняется непосредственно по формуле (13.30) при известных величинах сжимающей нагрузки, расчетного сопротивления материала R, площади сечения А, длины стержня l и способах его закрепления, благодаря чему определяется гибкость λ и, по табл. 13.1, коэффициент ϕ.

2. О

пределение несущей способности проводится по известным размерам сечения стержня, его длине, способам закрепления и расчетному сопротивлению материала:

одбор сечения осуществляется по заданной нагрузке, расчетному сопротивлению материала R, известной длине стержня, способам закрепления его концов и выбранной форме поперечного сечения:

В это неравенство входят две неизвестные А и ϕ, которые нельзя выразить одну через другую. Поэтому подбор выполняется методом последовательных приближений. При этом задаются величиной коэффициента φ.

Обычно в первом приближении принимают ϕ = 0,5 ÷0,6 и находят площадь

1

сечения А по формуле (13.32), затем радиус инерции i, гибкость стержня λ и

соответствующее ей действительное значение ϕ′ (по табл. 13.2). Если вели-

1

чины ϕ1 и ϕ1' существенно отличаются друг от друга, то существенно будут отличаться действительное напряжение в стойке σ = F A и допускаемое

383

R ϕ′ . Поэтому расчет нужно продолжить. Во втором приближении прини-

1

мают

Последующие приближения делают аналогично.

Сечение считают подобранным удовлетворительно, если σ и R ϕ′ отличаются не более, чем на 5%.

Если в состав сечения входит прокатный профиль, то сходимость обычно имеет место лишь на первых итерациях. Затем, в виду дискретности сортаментного набора, наступает этап скачкообразных изменений, поэтому на заключительных стадиях подбора сечения необходимо осуществить проверку устойчивости для некоторых ближайших прокатных профилей. В этом случае недонапряжение может оказаться и более 5%.

Пример 13.3. Стальной стержень коробчатого сечения (рис. 13.12), имеющий длину l = 4,5 м, сжат продольной силой F = 200 кН. Определить размер b поперечного сечения стержня. Расчет вести с помощью коэффициента продольного изгиба ϕ. Расчетное сопротивление материала R = 210 МПа, коэффициент условий работы γc = 0,9.

384

Решение

Запишем условие устойчивости:

σ = FA ≤ ϕ R γc ,

откуда необходимая площадь поперечного сечения стержня равна

A ≥ ϕ RF γc .

В этой формуле две неизвестных величины – площадь сечения А и коэффициент продольного изгиба ϕ. Поэтому решать задачу будем методом последовательных приближений, задаваясь величиной коэффициента ϕ.

Порядок расчета

1. Выразим геометрические характеристики поперечного сечения и гибкость стержня через размер b.

Момент инерции и радиус инерции относительно главных осей:

2. Необходимую площадь сечения А и размер b найдем путем последовательных приближений.

Первое приближение. Задаем ϕ1 = 0,5 , тогда

385

Используя линейную интерполяцию, по табл. 13.2 находим, что

386

Проверим выполнение условия устойчивости:

Условие устойчивости выполняется, недогрузка составляет 3,3%.

Ответ: окончательно принимаем площадь сечения A =19,24 см2 и размер b = 6,14 см.

Тема 13.3 Продольно-поперечный изгиб

Рассмотрим нагружение прямого стержня продольной силой и системой поперечных сил. Такой вид нагружения принято называть продольно-

поперечным изгибом.

При составлении дифференциального уравнения упругой линии изгибающий момент может рассматриваться как сумма момента поперечных сил M П и

момента продольной силы Py . При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент M П зависит в явном виде только от z и не зависит ни от y , ни от продольной силы P :

Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид

откуда

y = C1 sin kz +C2 coskz + y ,

где y – частное решение уравнения (13.35), зависящее от функции M П , т.е. от вида поперечной нагрузки.

388

Контрольные вопросы к разделу 13

1.Дайте определение критического состояния системы.

2.Что такое потеря устойчивости системы?

3.Какие величины внешних сил называются критическими?

4.В чем заключается суть задачи Эйлера?

5.Какие закономерности обнаруживаются между различными формами потери устойчивости систем?

6.Зависит ли величина критических значений внешних сил от характера закрепления стержня?

7.От каких факторов зависит гибкость стержней?

8.Назовите пределы применимости формулы Эйлера.

9.В каких случаях используется формула Ясинского?

10.Поясните алгоритм расчета на устойчивость по коэффициенту уменьшения допускаемых напряжений.

11.Назовите основные принципы рационального проектирования сжатых стержней.

12.Какой вид нагружения называется продольно-поперечным изгибом?

389

Раздел 14 Осесимметричные задачи прочности

Тема 14.1 Расчет тонкостенных осесимметричных оболочек

Геометрия оболочек вращения

К категории оболочек относятся элементы конструкций, у которых один из размеров, их толщина, значительно меньше двух других. В виде оболочек изготавливают, например, емкости для хранения нефтепродуктов, ресиверы для сжатого воздуха и газов. Распространение оболочек в технике – широкое.

Обращаясь к расчетам оболочки, введем основные понятия:

1) Срединная поверхность – это геометрическое место точек, равноудаленных от внешней и внутренней поверхности. Для цилиндра радиус срединной поверхности R1 равен среднеарифметическому значению радиусов

внешней и внутренней поверхности: R1=(Rвнешн..+Rвнутр.)/2

2) Оболочки будем называть осесимметричными, если срединные поверхности являются поверхностями вращения. Примеры: параболическая (рис.14.1), сферическая, цилиндрическая и коническая оболочки.

dS1 dS2

Рис. 14.1. Парабалоид с указанием главных кривизн и дуг dS1 и dS2 на бесконечно малом участке

3) Радиусы главных кривизн – это два радиуса в двух ортогональных сечениях оболочки, когда один из них – максимальный, другой – минимальный. Для

цилиндра R1=R, R2=∞, а для среды R1= R2=R.

4) Два главных напряжения σ1 и σ2 будем называть окружным и меридиальным. Третьим главным напряжением, действующим по нормали к срединной поверхности, пренебрегаем, поскольку оно намного меньше двух других, по крайней мере, на порядок.

390

Универсальное уравнение для расчета напряжений

Точность инженерных расчетов напряжений достаточная, если положить, что толщина стенки оболочки много меньше радиусов кривизн, и стенка не работает на изгиб. Напряжения σ1 и σ2 не меняются по толщине оболочки. В задаче о напряжениях можно обойтись уравнениями равновесия.

Универсальным уравнением для оболочек различной конфигурации является уравнение в проекциях всех сил на нормальную ось Z, действующих на элементарном участке оболочки (рис. 14.2). Силы здесь подставлены как произведения внутреннего давления q, напряжений σ1, σ2 на соответствующую площадь поверхности. Итак,

Это уравнение было предложено известным математиком и физиком Лапласом и носит его имя.

Рис. 14 2. Силы на элементарном участке оболочки

Перейдем к конкретным примерам расчета напряжений в оболочках.