ГОСЫ / вопрос 8 / Лекция №10

Название поверхности

Определение поверхности и ее каноническое уравнение

Изображение поверхности в системе координат

Свойства поверхности, вытекающие из уравнения

1. Эллипсоид

Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:

1) эллипсоид, ограниченная фигура, т.к.

2) если , то эллипсоид называется трехосным, это полуоси 2a, 2b,2c.

3) поверхность симметричная относительно координатных осей, координатных плоскостей и центра координат. 4) центр симметрии - центр эллипсоида.

5) оси симметрии - оси эллипсоида. Каждая ось пересекает эллипсоид в двух точках, вершинах эллипсоида. Вершины эллипсоида – центры симметрии граней параллелепипеда (точки пересечения диагоналей).

2. Однополостный гиперболоид

Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

1) поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат;

2) оси координат – оси гиперболоида, начало координат – центр гиперболоида, Ox и Oy – действительные оси, пересекают гиперболоид, каждая в двух точках, называемых вершинами, Ox: ; . Oz – мнимая ось гиперболоида;

3) a, b,c – в уравнении, полуоси однополостного гиперболоида.

3. Двуполостный гиперболоид

Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

1. поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат;

2. Оси координат - оси поверхности, начало координат – центр поверхности, ось Oz пересекает поверхность в двух точках – вершинах поверхности () и эта ось действительная ось поверхности, и Ox мнимые оси , точек пересечения с поверхностью не имеют.

3. Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

4. Эллиптический параболоид.

Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением (9), где p>0 и q>0.

1. симметричен относительно плоскостей Oxz, Oyz и относительно оси Oz;

2. несимметричен относительно осей Ox, Oy, плоскости Oxy и начала координат;

3. ось Oz – ось поверхности, пересекает параболоид в одной точке называемой вершиной параболоида.

4. вершина совпадает с началом координат;

5. все точки параболоида располагаются по одну сторону от вершины.

5. Гиперболический параболоид

Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

, где p>0, q>0.

1. симметричен относительно плоскостей Oxz, Oyz;

2. ось Oz – ось поверхности;

3. не имеет центра симметрии.

4. седлообразная поверхность проходящая через точку (0,0,0).