ГОСЫ / вопрос 2 / Лекция 4

Лекция №4

Аффинная и прямоугольная системы координат.

Ориентация плоскости.

Определение 4.1. Тройка, состоящая из точки О и базиса называется аффинной системой координат .

Точка О – начало координат, а векторы и - координатными векторами. Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами, называются осями координат. Ось координат, на которой положительное направление определяется вектором , называется осью абсцисс и обозначается , вектором - осью ординат и обозначается .

Пусть - аффинная система координат, а М – произвольная точка плоскости.

Вектор называется радиус-вектором точки М (относительно точки О). Координаты и вектора в базисе называются координатами точки М в системе координат . Число называется абсциссой точки М, а число - ординатой точки М; пишут . Таким образом, координатами точки М в системе называются числа и такие, что .

Чтобы построить точку М по данным координатам и в системе координат надо:

1. На оси построить точку , на оси - точку ;

2. Через точки и провести прямые, параллельные соответственно осям и ;

3. Точка пересечения прямых – искомая точка .

Задача 1.

В аффинной системе координат даны две точки и . Найти координаты вектора .

Решение.

1. .

2. Векторы - радиус-векторы точек и , значит, векторы имеют координаты: , .

3. По свойству координат имеем, что вектор как разность векторов имеет координаты: .

Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть и - две точки плоскости, а - некоторое действительное число, причем . Говорят, что точка делит направленный отрезок в данном отношении , если . Из данного равенства следует:

• , то и лежит внутри отрезка ;

• , то и лежит вне отрезка .

Задача 2

В аффинной системе координат отрезок задан координатами своих концов: , . Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении .

Решение.

1. Выразим векторы: и ;

2. Равенство примет вид: ;

Выразим : (*).

3. Векторы - радиус-векторы точек , , , поэтому эти векторы в базисе имеют координаты: , и ;

4. Применив к равенству (*) свойства координат векторов имеем формулы для нахождения координат точки , делящей отрезок в отношении :

Для нахождения координат середины отрезка формулы преобразовываются следующим образом:

Определение 4.2. Система координат называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной, если его координатные векторы являются единичными взаимно перпендикулярными векторами.

Такая система координат с началом в точке О обозначается: или , где .

Координаты точки в прямоугольной системе координат имеют простой геометрический смысл.

Точки и проекции точки М на

оси координат.

Таким образом, , если -

точка положительной полуоси ;

, если - точка отрицательной полуоси ; , если совпадает с началом координат.

Аналогичный геометрический смысл имеет и ордината у точки . Итак понятие координат в прямоугольной системе координат совпадает с тем понятием, которое известно из курсов алгебры и геометрии средней школы.

Длина отрезка в прямоугольной системе координат.

1. Пусть в прямоугольной системе координат точки имеют координаты и .

2. По определению длины вектора , где

3. 

Ориентация плоскости

Пусть L - некоторое множество векторов плоскости. Выделим в этом множестве два базиса

Выразим векторы второго базиса через векторы первого.

, где

Матрица перехода от базиса А к базису В имеет вид: , - определитель второго порядка матрицы перехода от базиса А к базису В.

Свойства определителей матриц перехода:

1. Для любого базиса имеем: А|A=1

2. Для любых трех базисов , справедливо равенство: ;

3. для любых базисов , справедливо равенство: .

Определение 4.3. Базисы и называются одинаково ориентированными, если определитель А|В больше 0.

Обозначается: AB (базис одинаково ориентирован с базисом )

Определение 4.4. Одинаково ориентированные базисы и из множества всех базисов подпространства L называются ориентацией векторного подпространства L.

Одна из ориентаций называется положительной, другая – отрицательной.

Определение 4.5. Векторное подпространство L называется ориентированным, если в нем выбрана положительная ориентация.

Определение 4.6. Базисы положительной ориентации называются правыми, отрицательной ориентации – левыми.

Определение 4.7. Плоскость называется ориентированной, если ориентированы подпространства векторов этой плоскости.

Определение 4.8. Система координат называется правой, если базис – правый. Левой, если базис – левый.

Рассмотрим два вектора и – ненулевые и заданные в определенном порядке.