ГОСЫ / вопрос 1 / Лекция 3

Лекция №3

Длина вектора в ортонормированном базисе. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов

При решении задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) или величин углов удобнее рассматривать так называемые ортонормированные базисы.

Определение 3.1. Базис называется ортонормированным, если его векторы удовлетворяют двум условиям: ; .

Теорема 3.2. Длина вектора , заданного координатами в ортонормированном базисе вычисляется по формуле

Доказательство.

1. Пусть и . Отложим векторы от некоторой точки О плоскости. Построим прямоугольник так, чтобы лучи и содержали бы векторы , а .

2. По теореме Пифагора имеем: ,

3. Так как и , то . Значит, .

Пусть векторы и - ненулевые векторы. Отложим от произвольной точки О векторы , и рассмотрим лучи и .

Определение 3.3. Углом между векторами и называется угол между лучами их содержащими и , если эти лучи не совпадают.

Если лучи и совпадают, то угол между ними считается равным нулю.

Угол между векторами и обозначается так: .

Так как два угла, стороны которых сонаправлены, равны, то угол между векторами не зависит от выбора точки О.

Определение 3.4. Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: .

Из формулы заключаем, что тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. Это утверждение справедливо и в том случае, когда хотя бы один из векторов и - нулевой. Скалярное произведение . Число называется скалярным квадратом вектора и обозначается через . Таким образом, .

Теорема 3.5. Скалярное произведение двух векторов и , заданных в ортонормированном базисе, есть число, равное сумме произведений соответствующих координат, т.е. .

Доказательство.

I. Пусть векторы и не нулевые и не коллинеарные.

1. Рассмотрим треугольник :

• по определению разности векторов имеем: ;

• по теореме косинусов имеем:

• Значит, или

• Так как , то и (*)

2. Распишем равенство (*) в координатах:

Таким образом,

II. Пусть векторы и ненулевые и коллинеарные.

1. По теореме о коллинеарных векторах существует такое , что , следовательно

2. Найдем скалярное произведение векторов и по определению 3.4:

Следствие 3.6. Векторы и , заданные в ортонормированном базисе, взаимно перпендикулярны тогда и только, когда .

Следствие 3.7. Косинус угла между ненулевыми векторами и , заданными в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

Свойства скалярного умножения 3.8. Для любого действительного числа и произвольных векторов , и справедливы следующие равенства:

3.8.1.

3.8.2. и

3.8.3.

3.8.4.

Ограничимся доказательством свойства 3.8.3. Остальные доказываются аналогично.

Доказательство свойства 3.8.3.

Так как вектор имеет координаты , то по формуле скалярного произведения в ортонормированном базисе имеем: =

= = .

Геометрический смысл координат вектора.

1. Пусть в ортонормированном базисе задан некоторый вектор . Его можно разложить по базису:

2. Умножим обе части разложения вектора скалярно на , . Имеем: .

3. Учитывая, что , имеем:

Определение 3.5 Косинусы углов между вектором и базисными векторами , называются направляющими косинусами вектора в ортонормированном базисе.

Если , то