ГОСЫ / вопрос 15 / Лекция 5

Лекция №5

Касательная к поверхности. Нормаль. Криволинейные координаты точек на поверхности. Различные виды уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

Рассмотрим поверхность F класса С^к заданная векторным уравнением

Пусть функции U и V есть некоторые скалярные функции от аргумента t. Тогда уравнение поверхности: . Правая часть полученного равенства представляет собой функцию от одного скалярного аргумента t следовательно она задает линию .

Терема: 5.1. Для любой гладкой линии класса С^к лежащей на поверхности этого же класса, может быть определено уравнениями:

причем скалярные функции, заданные на некотором промежутке I₁ имеющие непрерывные производные до k- порядка включительно и их производные не равные нулю одновременно ни в одной точке I.

В любой точке частные производные по параметру U и V- - эти векторы линейно не зависимы можно задать плоскость проходящею через определяющею векторами .

Эти векторы – направляющее подпространство.

Теорема:5.2. Пусть т. М₀(u_0,v₀) . Тогда множество касательных в т. М₀ ко всем гладким линиям, которые лежат на поверхности и проходят через эту точку, образует пучок прямых принадлежащих плоскости .

Доказательство:

1).

2). Найдем вектор касательной к линии в точке М₀. Для этого преобразуем уравнение . Из (1)

, где частные производные вычисляются в точке (u_0,v₀), а производные определяется t₀ вектор касательной параллелен плоскости, задаваемой направляющим подпространством (частными производными). Следовательно, он лежит в этой же плоскости, где и векторы.

Так как вектор определяется параметром t₀, тот в свою очередь определенности U_0,V₀, то вектор касательной касательную, проходящею через т.М₀.

Определение:5.3. Плоскость, в которой лежат касательные ко всем линиям лежащим на поверхности F и проходящие через М₀. Касательная плоскость задается: .

Определение:5.4. Двумерное векторное направление подпространства к касательной плоскости называется касательным векторным подпространством к поверхности F в т. М₀ и обозначается Т_М0 .

Векторы частных производных – базис этого подпространства при переходе к новой параметризации в качестве базиса касательного векторного подпространство выступают векторы частных производных к новым параметрам и .

Определение:5.5. Нормалью к гладкой поверхности в т.М₀ называется прямая проходящая через т.М₀ касательной плоскости.

Вектор нормали , нормаль определяется (М₀,N).

Уравнение касательной плоскости в прямоугольной системе координат.

по точке М₀(x₀,y₀,z₀) и нормали N(N₁,N₂,N₃)

Уравнение нормали в прямоугольной системе координат.

Если поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0(в неявном виде), то для написания уравнение нормали и уравнение касательной плоскости при помощи следующей леммы.

Лемма:5.6. Если гладкая поверхность задана в неявном виде уравнением F(x,y,z)=0, то является ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости касательной данной поверхности в соответственной точке.

Доказательство:

1). Пусть проходящею через т.М₀ и заданной уравнением Уравнение поверхности имеет вид.

2). Продифференцируем

Данное равенство можно рассматривать как скалярное произведение векторов в координатах. - вектор нормали касательной (этой касательной)

- вектор касательной к в т.М₀.

По определению имеем, что N-нормаль к линии нормаль к поверхности