
Мат. анализ. Контрольная работа №1 (0 вариант)
.docКонтрольная работа №1
«Введение в математический анализ»
ВАРИАНТ 0
Доказать по определению Коши
1.
2.
Вычислить пределы
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вычислить односторонние пределы
функции в точках
:
.
Нарисовать график функции в окрестности этих точек.
Вычислить пределы
11.
12.
Примеры решения задач
Пример 1.
Доказать, пользуясь определением по
Коши предела функции в точке, что
.
Решение.
По определению предела функции в точке ( по Коши):
>0
>0:
x:
0<|x-1|<
.
Выберем произвольное число >0.
Найдем для него число >0,
такое, что для всех х, удовлетворяющих
условию 0<|x-1|<
выполнено неравенство
.
Преобразуем левую часть:
.
Значит, неравенство
равносильно неравенству
.
Отсюда
.
Поэтому в качестве
можно взять число
.
При таком из
условия 0<|x-1|<
будет следовать неравенство
.
Таким образом, показано, что >0
=:
x:
0<|x-1|<
.
Это значит, что
.
Пример 2.
Вычислить предел
.
Решение.
Для раскрытия имеющейся здесь
неопределенности вида
применим следующий прием: разделим
числитель и знаменатель дроби на старшую
степень n. В
данном случае надо разделить на n3.
Получим
.
Использовали тот факт, что величины
,
,
,
,
являются бесконечно малыми при n,
следовательно, их предел равен нулю.
Пример 3.
Вычислить предел
.
Решение.
В этом примере в скобке имеем
неопределенность вида -.
Чтобы избавиться от нее, применим
следующий прием: умножим и разделим
на выражение, сопряженное выражению в
скобках. В данном случае умножим на
и в числителе получим разность квадратов.
Упростив, придем к неопределенности
вида
,
которую раскроем, как в предыдущем
примере, делением на старшую степень n
(на
).
=
==
=
=
=
.
Пример 4.
Вычислить
предел
.
Решение.
В данном
примере используется определение
факториала натурального числа. Факториалом
числа nназывается
произведение всех натуральных чисел
от 1 до n включительно:
n!=123n.
Например, 1!=1, 2!=12=2,
3!=123=6
и т. д. По определению 0!=1.
В пределах такого вида приходится выражать факториалы бóльших чисел через факториал меньшего числа. В данном случае меньшим числом является (3n-1). По определению факториала можем записать:
.
Значит, (3n+1)!=(3n-1)!(3n)(3n+1), а (3n)!=(3n-1)!(3n).
Выразим факториалы указанным образом через (3n-1)! и сократим дробь на (3n-1)! Затем раскроем скобки в числителе и знаменателе и разделим на старшую степень n (на n3).
=
=
=
=
.
Пример 5.
Вычислить предел
.
Решение.
Применим следующий прием: разделим числитель и знаменатель на старшую степень бóльшего по модулю числа. Заметим, что в данном примере можно делить на 5n+2 или на 5n+1 или на 5n. При этом используется известный предел:
Удобнее делить числитель и знаменатель на 5n.
=
=
.
Пример 6.
Вычислить предел
.
Решение.
Так как предел основания
,
а предел показателя степени
,
то в данном случае имеем неопределенность
1. При вычислении
пределов такого вида используется
второй замечательный предел:
.
Вместо n здесь может
стоять любая бесконечно большая величина,
то есть
,
где
.
Выделим вначале в основании целую часть. Для этого получим в числителе выражение, равное знаменателю и разделим почленно числитель на знаменатель.
=
=
.
В нашем случае
.
В показателе выделим выражение
и затем используем свойство
.
=
=
=
=
.
Пример 7.
Вычислить предел
.
Решение.
Числитель и знаменатель данной дроби
стремятся к нулю при х10.
Для раскрытия имеющейся здесь
неопределенности
разложим числитель и знаменатель на
множители и разделим на выражение
(х-10). Для этого в числителе
применим формулу разности кубов:
,
а в знаменателе вынесем х за скобки
и свернем квадрат разности:
.
Числитель получившейся дроби стремится к 300, а знаменатель – к нулю, т. е. является бесконечно малой величиной. Значит, дробь является бесконечно большой величиной и
.
Пример 8.
Вычислить предел
.
Решение.
В данном случае имеется неопределенность
.
Умножим числитель и знаменатель дроби
на выражение, сопряженное числителю, и
на выражение, сопряженное знаменателю:
.
Пример 9.
Вычислить предел
.
Решение.
При х0
sinx0,
3xsinx0,
x20.
Значит, можно заменить числитель и
знаменатель дроби эквивалентными
бесконечно малыми:
,
.
Тогда получим
.
Пример 4.
Вычислить предел
.
Решение.
В данном случае выражение, стоящее под
знаком синуса, не является бесконечно
малым:
.
Поэтому вначале необходимо раскрыть в
этом выражении скобки и затем применить
формулу приведения:
.
Получим
.
Теперь можно заменить числитель и
знаменатель эквивалентными бесконечно
малыми:
,
при х0. Тогда
.
Пример 10.
Вычислить предел
.
Решение.
Пример 11.
Вычислить предел
.
Решение.
Выражение, стоящее под знаком предела,
является показательно-степенной функцией
,
где
,
.
Вычислим пределы основания и степени:
,
.
Тогда используя правило предел степени равен степени пределов (в данном случае нет неопределенности), получим
.
Пример 12.
Вычислить предел
.
Решение.
В этом примере предел основания
,
предел показателя
.
Значит, имеется неопределенность 1.
Воспользуемся вторым замечательным
пределом в следующей форме записи:
.
Выполним преобразования, как в примере
5 из задания 2:
.
Пример 13.
Исследовать на непрерывность функцию
.
Решение.
Функция является элементарной как отношение двух многочленов, значит, она непрерывна во всех точках своей области определения. Областью определения является множество всех точек числовой прямой, за исключением тех, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем нули знаменателя: x2-6x+5=0 x=1 и x=5.
Итак,
,
данная функция непрерывна на
.
Точки х=1 и х=5 являются точками
разрыва. Исследуем характер разрыва.
Для этого найдем односторонние пределы
функции в точках х=1 и х=5.
,
,
,
,
В точках х=1 и х=5 функция имеет бесконечные односторонние пределы. Следовательно, эти точки являются точками разрыва второго рода.