3.2 Прямоугольные координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами

Определение 3.4 Проекцией вектора на осьназывается число, равное длине вектора(рис. 3.9), взятое со знаком «плюс», если направление векторасовпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае.

Точки - это точки пересечения осис плоскостями, проходящими через точкии, перпендикулярно оси. Обозначение.

Основные свойства проекции:

1. , где- угол между вектороми осью;

2. ;

3. ;

4. .

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Построим на координатных осяхиединичные векторы, обозначаемыесоответственно (рис. 3.10).

Единичные векторы , имеющие направление положительных координатных полуосей, называютсяортами координатныхосей.

Произвольный вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей. Для разложения векторасовместим его начало с началом координат (рис. 3.10). Из концавекторапроведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Обозначим,иточки пересечения этих плоскостей с осямисоответственно. Тогда

,

,,.

а значит, существуют числа , такие что

,,и

,,.

Следовательно, вектор можно представить в виде:

. (3.5)

Формула (3.5) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по базису. Коэффициентылинейной комбинации (3.5) называют прямоугольными координатами вектора, т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (3.5) записывают в виде

(3.6)

Имеет место аналогичное разложение вектора по базисуна плоскости (рис. 3.11).

. (3.7)

Длина вектора с координатамиопределяется по формуле

. (3.8)

Для плоского вектора

. (3.9)

Направление вектора в пространстве и на плоскости можно определить с помощью косинусов углов, которые образует вектор с осями координат. Их называютнаправляющими косинусамивектора. Обозначим- углы, которые составляет векторс осямисоответственно, тогда

,,. (3.10)

Справедливо равенство

. (3.11)

При выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергнутся и их проекции на координатные оси.

Пусть даны два вектора и.

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на это число:

, (3.12)

.

Векторы иравнытогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты:

,,. (3.13)

Векторы иколлинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

. (3.14)

Радиус-вектором точки называется вектор(рис. 3.12), начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой.

Координаты точки – это координаты её радиус-вектора .

Для вектора , заданного координатами точкии, его координаты определяются из векторного равенства

(3.15)

Здесь и- радиус-векторы точеки, т.е. координаты вектора равны разностям одноименных координат конечнойи начальнойточек этого вектора.