1.5 Обратная матрица и ее нахождение

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка

Определение 1.10 Квадратная матрица А называетсяневырожденной,если ее опре­делитель не равен нулю, иначе матрица А называетсявырожденной.

Матрица называетсясоюзной к матрице А, если ее элементы получаются по следующей схеме:

где – алгебраическое дополнение элементаданной матрицы А.

В первый столбец союзной матрицы записываются алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы А; во второй столбец – алгебраические дополнения к элементам второй строки матрицы А и т. д.

Например, для матрицы 3-го порядкасоюзной матрицей будет матрица вида

.

Напомним, что для каждого действительного числа существует обратное числотакое, что произведение.

Тогда операцию деления на число можно свести к операции умножения на обратное число.

Действительно, .

Пользуясь этими соображениями, введем для квадратной матрицы понятие обратной матрицы.

Определение 1.11Матрицаназываетсяобратной к матрице А, если выполняется условие где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрицаимеет ту же размерность, что и матрица А.

Справедливо утверждение: всякая невырожденная матрица A имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле:

,

где - союзная матрица;

- определитель матрицы А.

Свойства обратной матрицы

1)

2)

3)

Пример.

Найти обратную матрицу к заданной

Решение. Обратная матрица к данной определяется формулой

.

Определитель матрицы А равен

Союзная матрица для матриц второго порядка имеет вид

где A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij.

В нашем случае алгебраические дополнения для элементов задан­ной матрицы:

A₁₁ = – 2;A₁₂ = – 4;A₂₁ = – (–3) =3;A₂₂ = 1.

Из них составим союзную матрицу к заданной

Тогда обратная матрица будет иметь вид .

1.6 Ранг матрицы

Познакомимся еще с одной числовой характеристикой матрицы – рангом матрицы. Понятие ранга матрицы применяется при исследовании и решении систем линейных алгебраических уравнений.

Определение 1.12 Если в матрице выделить произвольныестрок истолбцов, то элементы стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка. Определитель этой матрицы называетсяминором -го порядкаматрицыи обозначается.

Таких миноров можно составить

Пример. Рассмотрим матрицу,

1. Каждый элемент матрицы есть минор 1-го порядка, например. Миноров первого порядка будет.

2. Миноры второго порядка: и т.д. Миноров второго порядка будет 18.

3. Миноры третьего порядка:

Миноров третьего порядка всего четыре.

Миноров четвертого и выше порядков не будет, так как

Как видим, среди миноров есть миноры равные нулю и отличные от нуля.

Определение 1.13 Числоr называетсярангом матрицы , если:

1. у матрицы имеется минор порядкаrотличный от нуля;

2. все миноры порядка (r +1) и выше равны нулю.

Обозначение: r (), .

Иными словами, ранг матрицы– это наивысший порядок миноров отличных от нуля.

Определение 1.14 Отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы, называетсябазисным миноромматрицы.

Пример. Найдем ранг матрицы, рассмотренной в примере выше.

У этой матрицы существует минор 2 -ого порядкаотличный от нуля, а все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, .

Минор является базисным для матрицы. Также являются базисными минорами и все другие миноры второго порядка отличные от нуля, например,.

Свойства ранга матрицы

1. Если матрица имеет размер ,то ее ранг удовлетворяет неравенству.

2. Ранг матрицы равен нулю только для нулевой матрицы.

3. Если матрица квадратная- го порядка, то ранг матрицы равентогда и только тогда, когда.

Отыскание ранга матрицы на основании определения 2.6, весьма затруднительно, так как связано с вычислением большого количества определителей различных порядков.

Получим более простой способ вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы.

К элементарным преобразованиямматрицы относятся следующие действия над матрицей:

1. умножение некоторой строки (столбца) матрицы на число отличное от нуля;

2. прибавление к некоторой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число отличное от нуля;

3. перестановка двух строк (столбцов);

4. удаление нулевых строк (столбцов;

5. транспонирование матрицы.

Определение 1.15 Матрица называетсяэквивалентнойматрице(B ̴ A), если матрицаполучена из матрицыс помощью конечного числа элементарных преобразований.

Элементарные преобразования обратимы. Это значит, что если B ̴ A, то и матрицаB может быть снова преобразована в матрицуA (A ̴ B) .

Теорема 1.1 Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

Итак, если A ̴ B, то .

Это означает, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг.

С помощью элементарных преобразований матрица может быть преобразована в матрицу специального вида, ранг которой легко определяется. Это так называемаяступенчатая матрицавида:

, где,

. Рассмотрим угловой минор порядка отличный от нуля:, так как все. Все миноры более высокого порядкаи т. д. будут равны нулю, так как содержат хотя бы одну нулевую строку. Следовательно, ранг ступенчатой матрицы равен, т.е. числу ненулевых строк. Фактически, мы доказали теорему, которую сформулируем ниже.

Теорема 1.2 Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

Правило:Чтобы найти ранг произвольной матрицынеобходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к ступенчатому виду и подсчитать число ненулевых строк в полученной ступенчатой матрице.

Пример. С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы

.

Решение. Преобразуем матрицук ступенчатому виду. Для этого будем получать «0» ниже элементов, стоящих на главной диагонали с помощью элементарных преобразований. Запись будем вести в виде цепочки эквивалентных матриц.

Поменяем местами первую и вторую строчку, так чтобы , а третью строчку разделим на число 5.

̴̴̴.

Чтобы получить «0» во второй позиции первого столбца, умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй строке.

Это преобразование запишем числом (-2) против первой строки и обозначим стрелкой, идущей от первой строки ко второй строке.

Для получения «0» в третьей позиции первого столбца, умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей строке; покажем это действие с помощью стрелки, идущей от первой строки к третьей.

В полученной матрице, записанной третьей в цепочке матриц, получим «0» во втором столбце в третьей позиции. Для этого умножили вторую строку на (-2) и прибавили к третьей. Вторую строку при этом умножим на (-1).

Последняя полученная матрица – ступенчатая. Вычеркнем последнюю нулевую строчку, останется две ненулевые строчки.

Следовательно, .