Тема 4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Балансовый анализ

Пример 4.1

Имеется nотраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть ее идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другаяY(конечный продукт) предназначена для личного и общественного потребления. Пусть– общий (валовой) объем продукцииi–й отрасли ();объем продукцииi–й отрасли, потребляемойj–й отраслью в процессе производства ().

В таблице задан баланс nотраслей промышленности за некоторый промежуток времени.

Построить матрицу прямых затрат A=()_n×n, гдекоэффициенты прямыхзатрат(доли продукцииi–й отрасли, идущих на производство единицы продукцииj–й отрасли) и выяснить, является ли она продуктивной. Найти матрицу полных затрат. Найти– объем валовой продукции каждой отрасли, если конечный продукт должен быть. Указать необходимый процент увеличения валовой продукции по каждой отрасли.

Отрасли		Потребление			Валовой выпуск Х	Конечный продукт
		1	2	3
Производство	1	15	10	15	200	200
	2	10	10	15	100	70
	3	20	15	30	150	100

Решение:

По условию задачи вектор валового выпуска , отсюда.

1). Найдем матрицу прямых затрат A=()_n×n, где ,;.

Рассчитаем элементы матрицы А:

Получим матрицу прямых затрат .

2). Проверим матрицу А на продуктивность с помощью критерия продуктивности:

Сумма элементов каждого столбца должна быть < 1.

3) Определим объем конечной продукции по каждой отрасли, при заданном векторе

.

Из уравнения (4.5) получим: вектор конечного продукта.

.

При заданном векторе объем конечного продукта произведенного первой отраслью равен 160, второй отраслью – 65 и третьей – 85.

4) Определим матрицу полных затрат .

Найдем матрицу .

Теперь найдем матрицу , гдеалгебраические дополнения к элементамматрицы.

Найдем определитель матрицы .

Посчитаем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы

и т.д.

Получим матрицу .

Запишем матрицу полных затрат .

5) Найдем объем валовой продукции каждой отрасли, при заданном векторе конечного продукта.

Из уравнения (4.7) .

.

6) Найдем процент увеличения валовой продукции по каждой отрасли. Для этого найдем приращение , переведем полученный результат в проценты.

Тема 5. Модель международной торговли

Пример 5.1

Структурная матрица торговли 3-х стран имеет вид . Найти равновесный вектор национальных доходов, если суммарный доход этих стран равен 400 усл. ед.

Решение:

Равновесный вектор является собственным вектором матрицыА, соответствующим собственному числу.

По условию .

Найдем собственный вектор матрицы А из уравнения.

;

.

В результате получим систему уравнений

.

Для удобства вычисления умножим каждое уравнение системы на 10 и решим данную систему методом Гаусса (система является однородной и неопределенной).

Выпишем матрицу системы . Разделим вторую строку на 6 и запишем её первой по порядку. Приведём матрицу системы к ступенчатому виду. Для этого первую строку умножим на 8 и сложим со 2 –ой строкой; затем первую строку умножим на (-2) и сложим с 3-ей строкой. Получим эквивалентную матрицу. Сложив 2-ую и 3-ю строки, получим нулевую строку, которую можно отбросить; затем вторую строку разделим на -5.

Получим эквивалентную матрицу которой соответствует система уравнений

. Пусть, где. Тогда из второго уравнения получим:.

Подставим в первое уравнение и, получим.

Равновесный вектор , где.

Сбалансированность торговли трех стран будет достигнута при соотношении национальных доходов 1 : 2 : 1.

С учетом имеем. Отсюда. Тогда. Итак, равновесный вектор национальных доходов.