3. Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии параллельными осям координат

Если в уравнении (4.12) кривой второго порядка , то каноническое уравнение можно получить с помощью параллельного переноса системы координат, при котором началоновой системыпомещается в точку, а «старые» и «новые» координаты связаны формулами:

(4.17)

Уравнение эллипсас центромимеет вид:

Если ,

то вершины эллипса , а фокусы

Если ,

то вершины эллипса , а фокусы

Уравнение гиперболыс центромимеет вид:

Вершины гиперболы , а фокусы

Уравнение сопряженной гиперболыс центромимеет вид:

Вершины гиперболыа фокусы

Уравнение параболы с вершинойс осью симметрии параллельной осиOX:

(4.21)

или

(4.22)

Уравнение параболы с вершинойс осью симметрии параллельной осиOY:

(4.23)

или

(4.24)

Пример. Используя параллельный перенос системы координат привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую.

Решение.Преобразуем уравнение линии, группируя члены си члены с, и вынося за скобки коэффициенты при квадратах:

,

;

выделим в скобках полные квадраты:

,

,

,

_{разделим обе части уравнения на (-36):}

_{Получили уравнение сопряженной гиперболы (4.20) с центром в точке .}

Выполним параллельный перенос

,

получили каноническое уравнение гиперболы в системе , где- новое начало.

3. Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча , исходящего из этой точки и называемогополярной осью, и единицы масштаба (рис. 4.10).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим = ОМ – расстояние точки М от полюса,  – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ.

Числа иназываютсяполярными координатами точки М, – полярный радиус,– полярный угол точки М.

Задание пары чисел (,) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение  пределами (или), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел ().

Исключение составляет полюс, для которого = 0, а уголне определен.

Рис. 4.10

Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат (ПСК) вместе с декартовой системой координат (ДСК). Выберем ДСК так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси (рис.4.11). Тогда полярные координаты (,) и декартовы координаты () точки М связаны соотношениями:

;	(4.25)
	(4.26)

(4.27)

Из этих формул следует: 

;

(4.28)

 

Рис. 4.11

Формула для определяет два углаи+в промежутке [0; 2). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (4.28).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо (), подставить в уравнение их выражения из формул (4.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (4.26), (4.28).

Пример . Построить в полярной системе координат точки :

Решение.Построение точек показано на рис. 4.12.

Рис. 4.12