6.2. Алгебраический критерий устойчивости Рауса – Гурвица

Алгебраические критерии устойчивости позволяют установить, устойчива система или нет, по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения. Впервые вопрос устойчивости динамических систем был исследован Максвеллом и Вышнеградским. В конце XIX века А. Гурвиц и Э.Дж. Раус независимо друг от друга опубликовали работы, посвященные методу анализа устойчивости линейных систем. Критерий Рауса – Гурвица позволяет ответить на вопрос об устойчивости путём анализа характеристического уравнения системы, записанного в виде (6.4).

Для ответа на поставленный вопрос необходимо установить, находится ли хотя бы один из корней этого уравнения в правой половине комплексной плоскости.

Анализ характеристического уравнения показывает, что если все корни расположены в левой полуплоскости, то все коэффициенты характеристического полинома должны иметь один и тот же знак. Необходимо также, чтобы все коэффициенты были отличны от нуля (если система устойчива). Однако, эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточными. Это означает, что если данные условия не выполняются, то сразу можно сказать, что система неустойчива; но если даже эти условия выполняются, то для ответа на вопрос об устойчивости системы необходимы дальнейшие исследования.

Критерий Рауса – Гурвица даёт необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем. Первоначально он был предложен в форме определителей, в соответствии с которыми для получения отрицательных вещественной части всех корней характеристического уравнения r-й степени, необходимо и достаточно, чтобы при всеn-определителей Гурвица были положительными, а затем в более удобной табличной форме.

В настоящее время применение алгебраических критериев не актуально. Ознакомиться подробнее с этими критериями можно в любом учебнике по ТАУ.

6.3. Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста, основанный на использовании частотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замкнутой САР по её амплитудно-фазовой характеристике в разомкнутом состоянии. Критерий был предложен Найквистом в 1932 году.

АФХ систем могут быть получены по передаточным функциям составляющих её звеньев. Следовательно, если имеется структурная схема САР и передаточные функции типовых звеньев, из которых состоит эта система, то можно получить передаточную функцию разомкнутой системы. Заменяя в этой передаточной функции, оператор на ,получим выражение АФХ разомкнутой системы, по которому может быть построена АФХ на комплексной плоскости.

Амплитудно–фазовый критерий устойчивости формулируется следующим образом:

Если АФХ разомкнутой устойчивой системы не охватывает точку с координатами (-1,) на комплексной плоскости, то замкнутая система устойчива.

Амплитудно–фазовый критерий в такой формулировке справедлив лишь тогда, когда разомкнутая система устойчива, а в уравнении АФХ степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя.

Физическое толкование амплитудно–фазового критерия можно объяснить на примере одноконтурной системы (рис.6.8)

В точке пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью фазовый сдвиг между входным и выходным сигналом составляет . В точке с координатами, отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала

т.е. колебания на выходе системы находятся в противофазе с колебаниями на входе, поэтому отрицательная обратная связь превращается в положительную. В системе возникают незатухающие колебания при снятии входного сигнала, т.е. система будет находиться на границе устойчивости.

Если точка пересечения АФХ с вещественной осью находится между и, это значит, что отношение выходной амплитуды к входной больше 1, т.е. коэффициент усиления системы при данной частоте больше единицы. При подаче на вход возмущающего сигнала амплитуда выходного сигнала будет больше амплитуды входного сигнала. При замыкании такой системы в ней будут происходить свободные колебания с возрастающей амплитудой и с частотой соответствующей точке пересечения характеристике с вещественной осью.

Если точка пересечения АФХ с вещественной осью находится между началом координат и точкой , то коэффициент усиления системы при этой частоте меньше единицы и при замыкании системы свободные колебания в ней будут затухать. В многоконтурных системах формулировка и физическое толкование амплитудно-фазового критерия устойчивости усложняется.

Рассмотрим другой случай, когда АФХ разомкнутой устойчивой системы имеет вид, представленный на рис. 6.9.

Если коэффициент усиления мал, то точка с координатами (-1, j0) займёт положение точки А₁ (система устойчивая). При увеличении коэффициента усиления точка(-1, j0) перемещается вправо:

точка А₂ – система на границе устойчивости;

точка А₃ – система неустойчивая;

точка А₄ – система на границе устойчивости;

точка А₅ – система устойчивая.

Рассмотренная выше формулировка критерия Найквиста относится к системам, которые являются устойчивыми в разомкнутом состоянии. В случае одноконтурной системы устойчивость в разомкнутом состоянии всегда обеспечивается, если система состоит только из устойчивых звеньев и включает не более одного интегрирующего звена. При наличии местных обратных связей должна быть ещё проверена устойчивость образованных этими связями контуров. Для этого, в свою очередь, может быть применен критерий Найквиста или любой другой.

Определить, охватывает ли АФХ точку с координатами можно следующим образом. Из точкипроводится вспомогательный вектор АВ к АФХ (рис. 6.10). При измененииот 0 доконец В этого вектора скользит по АФХ, а вектор АВ поворачивается вокруг точки А на некоторый угол. Если суммарный угол поворота вектора АВ при измененииот 0 доравен нулю, то характеристика не охватывает точкуи система устойчива (рис. 6.10, а). Если этот угол поворота не равен нулю, то характеристика охватывает точкуи система неустойчива (рис. 6.10, б).

Передаточная функция астатических систем из-за наличия интегрирующего звена имеет множитель , а в уравнении АФХ появляется соответственно множитель. ПриАФХ разомкнутой системы уходит в бесконечность (кривая) (рис. 6.11).

Чтобы судить, охватывает ли эта кривая точку строят вспомогательную кривую, являющуюся зеркальным отображением АФХ, и проводят дугу бесконечно большого радиуса с центром в начале координат, соединяя характеристикус характеристикой. Если теперь обойти концом вектора АВ по полученной замкнутой кривой, то суммарный угол поворота его вокруг точки А определяет, устойчива или нет замкнутая система. Если этот угол равен нулю (рис. 6.11, а), то система устойчива. Если суммарный угол поворота АВ равен, то замкнутая система неустойчива (рис.6.11, б).

При увеличении коэффициента усиления разомкнутой системы АФХ, не меняя своей формы, «расширяется», т.е. расстояние каждой точки характеристики от начала координат увеличивается в одинаковое число раз. Это свойство АФХ даёт возможность в некоторых сложных случаях правильно выбрать параметры системы, что трудно сделать с помощью других критериев устойчивости.

Если уменьшать коэффициент усиления в неустойчивой системе, её АФХ «сожмётся» к началу координат и система может стать устойчивой. Наоборот, при увеличении характеристика устойчивой системы в конце - концов охватит точку(-1, j0) и система потеряет устойчивость (рис. 6.11, б).

АФХ астатических систем при уходят в бесконечность, т.к. в знаменателе АФХимеется множитель, где- порядок астатизма.

При: приуходит в бесконечность отрицательной мнимой полуоси (рис. 6.11., б);

- вдоль отрицательной действительной полуоси,

- вдоль положительной мнимой полуоси.

`

Для систем неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет следующую формулировку:

Система будет устойчива в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФХ через ось абсцисс слева от точки равна нулю (рис.6.13).

При анализе устойчивости системы по АФХ целесообразно ввести понятие запаса устойчивости по модулю и фазе (рис.6.14).

Если через точку провести окружность единичного радиуса, получим точку пересечения её с АФХ (точку В).

Запас устойчивости по модулю характеризуется отрезком h, а запас по фазе – углом .

Запас устойчивости системы по амплитуде – это величина, показывающая, во сколько раз необходимо увеличить (или уменьшить) величину коэффициента усиления системы при неизменных значениях всех остальных её параметров, чтобы устойчивая система оказалась на границе устойчивости.

Таким образом, если обозначить через заданное значение передаточного коэффициента устойчивой системы, а через- его критическое значение, т.е. такое значение передаточного коэффициента, при котором система находится на границе устойчивости, то величиназапаса устойчивости системы по амплитуде:

.

Запасом устойчивости системы по фазе называется величина, показывающая, на сколько нужно уменьшить (или увеличить) фазу системы, не изменяя её амплитуду, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости

.

Величину запасов устойчивости в определённой мере определяют и качество САР. Поэтому выбором определённых величин запасов устойчивости в некоторой степени предопределяют и качество САР. Однако, качество системы определяется запасами устойчивости неоднозначно. На качество системы оказывает большое влияние и форма кривой частотных характеристик системы.