1. Корни вещественные

Если все корни отрицательные, то с течением времени все члены уравнения (6.6), содержащие множитель стремится к нулю, т.к. ,а отклонение регулируемой величины стремится к постоянному значениюили к нулю. Система в этом случае устойчива.

Если хотя бы один из корней, например, p₁ положителен, то соответствующий член с течением времени неограниченно возрастает, и отклонение регулируемой величины Система в этом случае будет неустойчивой.

Если все вещественные кони отрицательны, то каждая составляющая или множительстремятся к нулю при , т.е.

Если же вещественные части корней положительны , то

и система неустойчивая.

2. Корни комплексные сопряжённые с отрицательной вещественной частью

;

В этом случае

(6.7)

Рис. 6.3.

Если корни сопряженные комплексные, то в этом случае при отрицательных вещественных частей отклонение регулируемой величины приходит к установившемуся значению (к нулю) с затухающими гармоническими колебаниями.

Действительно, если вещественные части всех комплексных корней отрицательны, то каждое слагаемое суммы (6.8) представляет собой затухающее колебание и поэтому

,

т.е. система устойчивая.

3. Корни комплексные сопряжённые при положительной вещественной части.

.

Если хотя бы одна пара комплексных корней имеет положительную вещественную часть (), то в этом случае

(6.8)

отклонение регулируемой величины совершает колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Система неустойчива.

4. Корни имеют нулевую вещественную часть (), т. е.

.

В этом случае отклонение регулируемой величины совершает незатухающие колебания (автоколебания), т.е. система находится на границе устойчивости

Таким образом, условием устойчивости системы автоматического управления является отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения (т. е. расположение всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.)

Корни характеристического уравнения замкнутой системы зависят только от параметров системы (коэффициентов уравнения ), т. е. от постоянных времени и коэффициентов усиления звеньев.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде векторов, расположенных в комплексной плоскости. Очевидно, что система будет устойчивой, если все корни располагаются слева от мнимой оси.

Вслучае если один вещественный корень или пара комплексно сопряженных корней располагается на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколебания). Если система имеет один нулевой корень при всех остальных корнях, расположенных левее мнимой оси, называют нейтрально устойчивыми.

Для того чтобы все корни оказались в левой полуплоскости, можно воздействовать на коэффициенты характеристического уравнения, которые связаны с корнями непрерывными зависимостями.

Задача определения устойчивости может быть решена различными методами. Можно определять корни характеристического уравнения и по ним устанавливать знаки вещественных частей. Но такой метод может быть использован, когда порядок характеристического уравнения ниже третьего. Уравнения более высоких степеней вообще не имеют аналитического решения и могут быть решены лишь приближенно.

Но для определения устойчивости совершенно не обязательно знать значение корней. Достаточно убедиться только в отрицательности вещественных частей корней. Для этого можно воспользоваться методами, основанными на использовании критериев устойчивости.

Критерием устойчивости называется косвенный метод определения знаков вещественной части корней характеристического уравнения, не требующий решения этого уравнения.

Все известные критерии делятся на 2 группы:

1) алгебраические,

2) частотные.

К алгебраическим относятся критерии: Вышнеградского, Рауса, Гурвица. К частотным относятся критерии Михайлова, Найквиста, логарифмический критерий устойчивости. Особое место занимает выделение областей устойчивости. Применение того или иного критерия зависит от конкретных условий.