Критерии качества оптимального регулирования

Оптимальная САР должна соответствовать конкретному критерию качества регулирования, на основании которого она построена.

За критерий качества процессов в системе можно принимать следующие интегралы:

(8.1)

Следовательно, за критерий оптимальности принимается минимум либо линейного, либо квадратичного отклонения выходной величины от заданного значения

.

Интегральный критерий применим только в системах, о которых заведомо известно, что у них переходные процессы монотонны, т.е.не меняет знака (рис.8.3, кривая 1).

Это резко ограничивает возможности данного критерия. Если переходный процесс колебательный, то величинане может служить мерой его качества, т.к. величинаимеет разный знак (рис.8.4), т.е. площади, ограничиваемые кривойбудут вычитаться друг из друга. При линейной оптимизации получается увеличенное время регулирования (кривая 1).

Рис.8.3. Переходные процессы в системе регулирования при различных критериях оптимальности

И

Рис.8.4 Кривые переходных процессов при квадратичной оптимизации

нтегральный критерийобеспечивает минимум квадратичной ошибки регулирования. Неограниченное снижениеневозможно из-за возможных ограничений в системе регулирования. При квадратичном критерии получается большая величина перерегулирования.

При линейной и квадратичной оптимизации могут быть получены либо слишком сильно, либо слишком слабо задемпфированные процессы. Для того, чтобы получить переходный процесс без чрезмерного перерегулирования и с минимальным временем необходим некоторый технический оптимум. В соответствии с этим оптимумом за оптимальный процесс принимается такой, при котором перерегулирование составляет  5 %, а время регулирования наименьшее возможное. Такой реакцией на скачок входной задающей величины обладают системы второго порядка с коэффициентом демпфирования .

Изменение соотношения постоянных времени может быть достигнуто применением параллельной или последовательной коррекции. В системах с параллельной коррекцией применяются гибкие отрицательные обратные связи, с помощью которых увеличивается наибольшая постоянная времени и уменьшаются остальные. В результате достигается возможность использования повышенных значений коэффициента форсировки, что приводит к повышению быстродействия переходного процесса.

Основным недостатком систем с параллельной коррекцией является сложность расчета оптимальных параметров системы, трудность настройки и наладки систем управления.

В системах с последовательной коррекцией корректирующие звенья включают в цепь основного сигнала последовательно со звеньями систем управления. К системам с последовательной коррекцией относятся так называемые системы подчиненного регулирования. В этих системах требуемые соотношения постоянных времени могут быть достигнуты заменой (компенсацией) с помощью регуляторов всех больших постоянных времени, кроме одной, самой малой, новыми постоянными, кратными самой малой постоянной времени.

Рассмотрим, какие соотношения постоянных времени должны быть обеспечены для получения оптимальных по времени переходных процессов.

Рассмотрим вначале простую замкнутую систему, состоящую из одного интегрирующего и одного инерционного звеньев (рис.8.5) с единичной обратной связью, причем Т₁ < Т₂.

Передаточная функция такой замкнутой системы

. (8.2)

Уравнение амплитудной частотной характеристики в этом случае будет

, (8.3)

или

. (8.4)

Ранее в курсе ТАУ было показано, что при скачкообразном изменении входного сигнала регулируемая величина будет тем точнее следовать за заданной величиной, чем шире полоса частот, при которых модуль передаточной функции приближен к единице (рис.8.6).

Чем ближе к единице модуль передаточной функции, тем меньше динамическая ошибка регулирования и меньше время переходного процесса.

Для нашего случая , если

.

Можно показать, что этому равенству соответствует соотношение , т.е..

И.Кесслером (фирма SIEMENS) такой критерий был назван «Betragsoptimum». В нашей практике его называют «техническим» или «модульным оптимумом» (наиболее удачное название).

Если обозначить наименьшую постоянную времени системы через , то передаточная функция замкнутой оптимальной системы (8.2) запишется

(8.5)

где - коэффициент, определяющий соотношение постоянных времени в системе регулирования;

=2 – стандартный коэффициент, соответствующий «модульному оптимуму» (оптимальная настройка);

= 1  4 – реальный коэффициент настройки для реальных систем.

Передаточная функция оптимальной системы может быть записана в форме, соответствующей колебательному звену

, (8.6)

где - эквивалентная постоянная времени колебательного звена;

- относительный коэффициент затухания колебаний.

Таким образом, поведение регулируемой величины на выходе замкнутого оптимизированного контура зависит только от малой постоянной времени системы . Замкнутый контур будет представлять собой систему второго порядка. Важнейшей характеристикой такой системы является относительный коэффициент затухания (коэффициент демпфирования)

, (8.7)

где - коэффициент при,

- коэффициент при .

Если имеем систему третьего порядка с тремя постоянными времени Т₁ < Т₂ < Т₃ , передаточная функция которой имеет вид

, (8.8)

то амплитудная частота характеристики

. (8.9)

Если провести такое же исследование, как и в предыдущем случае, то можно показать, что оптимальный характер процесса будет выполняться при условии

. (8.10)

Аналогично для системы n-ого порядка

. (8.11)