6.4. Логарифмический критерий устойчивости

Построение АФХ в комплексной плоскости требует трудоёмких вычислений, особенно в тех случаях, когда знаменатель передаточной функции является многочленом высокой степени. Поэтому в ряде случаев пользуются логарифмическими частотными характеристиками.

Метод основывается на возможности суждения об устойчивости замкнутой системы по взаимному расположению ЛАЧХ и ЛФЧХ системы в разомкнутом состоянии. Согласно критерию Найквиста, в случае, если система устойчива, точка лежит слева от амплитудно-фазовой характеристики первого рода.

Система будет находится на границе устойчивости, если аргумент АФХ равен , а модуль

.

При этом

т.е. ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Точка пересечения характеризуется частотой среза(рис. 6.15, а).

Если система устойчива, то при величина

а

,

т.е. ордината логарифмической амплитудной частотной характеристики будет иметь отрицательный знак (рис.6.15. б).

Для неустойчивой системы угол соответствует

и

.

В этом случае ордината ЛАЧХ будет иметь положительное значение. Либо при (рис. 6.15, в).

Применение логарифмического критерия устойчивости даёт возможность определить влияние того или иного параметра системы на её устойчивость и переходный процесс, а также сравнительно просто определить характеристику корректирующего устройства.

Например, на рис. 6.16. показано влияние коэффициента усиления на устойчивость ЛАЧХ. ибудут различны при различных коэффициентах усиления разомкнутой системыи, а ЛФЧХ будут совпадать. Характеристики построены для случая>. Построение частотной характеристики позволяют определить запас устойчивости по фазе

.

и запас по устойчивости амплитуде, как число децибел, на которое нужно увеличить усиление системы, чтобы система достигла границы устойчивости.

При заданном коэффициенте усиления логарифмические характеристики будут иметь вид кривыхL(ω) и φ(ω). При частоте среза ω_с1 фаза составляет , т.е. система неустойчива.

Необходимо найти такое значение коэффициента , при котором обеспечивается запас по фазе, равный. Для этого на графике откладывается значение, получим точку А, через которую проводим вертикаль до пересечения с частотойна оси абсцисс. Через эту точку проводитсяL₂(ω) параллельно L₁(ω) . Находится новое значение коэффициента усиления где изменение коэффициента усиленияопределится из соотношения

дб.

Для систем, имеющих АФХ второго рода, т.е. «клювообразные» и более сложные по своей форме, практически удобнее пользоваться формулировкой логарифмического критерия устойчивости, вытекающей из правила о числе переходов. Для примера рассмотрим частотные характеристики и логарифмические частотные характеристикиидля условно устойчивой системы.

На основании этих характеристик и правил о числе переходов ЛФЧХ через линиюлогарифмический критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом:

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если разность между числами положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через прямуюравна нулю в диапазоне частот, в котором ЛФЧХположительна (рис.6.17).

На основании этого критерия система, имеющая характеристику - устойчива, а система, имеющая характеристику(при меньшем коэффициенте усиления) и система, имеющая характеристику(при большем) будут неустойчивыми.

С помощью критериев устойчивости можно определить, устойчива ли система при заданных её параметрах (постоянных времени, коэффициентах усиления). Однако, на практике, например при проектировании САР, часто ставится задача: при заданных параметрах за исключением одного - двух параметров, изменяющихся в широких пределах, требуется определить, при каких значениях этих параметров система устойчива. Некоторые параметры системы могут изменяться в процессе эксплуатации. В этих случаях требуется определить, будет ли устойчивой система при изменении этих параметров.

Поставленные задачи могут быть решены, если установить область возможных изменений тех или иных параметров. Для этого строятся области устойчивости.

6.5. Структурная устойчивость САР

Структурная схема САР обычно состоит из звеньев, которые выбираются в соответствии с требуемыми статическими и динамическими характеристиками этой системы.

Однако, как указывалось ранее, в состав САР могут входить и другие звенья, например, консервативное звено с положительным и отрицательным статизмом, а также звенья первого и второго порядков с отрицательным статизмом, формирующие звенья и др., имеющие соответственно следующие передаточные функции:

Звенья с отрицательным статизмом относятся к группе неустойчивых. Если разомкнутая система неустойчива или находится на границе устойчивости, то её характеристическое уравнение имеет корни, находящиеся в правой полуплоскости, или на мнимой оси. Это значит, что знаменатель оператора разомкнутой системы может содержать множитель типа (Tp-1).

Если в схеме САР содержатся интегрирующие звенья, то знаменатель оператора разомкнутой системы содержит и множители p, т.е. имеет корни, находящиеся на мнимой оси. Поэтому и в данном случае можно считать, что разомкнутая система находится на границе устойчивости или, как иногда говорят, нейтральна.

Структурно устойчивой называется такая система, которая может быть сделана устойчивой путём выбора соответствующих параметров без изменения её структуры.

Структурно неустойчивая система будет неустойчивой при любых значениях параметров, и её можно сделать устойчивой, только изменяя структурную схему.

Можно показать, что система, содержащая последовательно соединенные инерционные, колебательные и интегрирующие звенья, будет после замыкания структурно неустойчивой в том случае:

1. если она содержит более одного интегрирующего звена или неустойчивого инерционного звена;

2. если число содержащихся в ней неустойчивых колебательных, или консервативных звеньев таковы, что степень характеристического уравнения не превосходит , т.е. если имеет место условие;

3. если система содержит одно интегрирующее и одно неустойчивое инерционное звено.

Рассмотрим примеры структурных схем структурно неустойчивых (рис.6.18, а и б) и структурно устойчивой (рис.6.18, в). В схеме (рис.6.18, а) неустойчивым является консервативное звено, которое даёт незатухающие колебания и которое дает сдвиг по фазе между входным и выходным сигналами, равный –180⁰ . Поэтому система будет неустойчивой.

В схеме (рис.6.18, б) имеется два интегрирующих звена, каждое из которых дает сдвиг по фазе, равный –90⁰ , поэтому эта система также является неустойчивой.

Для схемы (рис.6.18, в), имеющей в своем составе инерционное и колебательное звенья, можно подобрать соответствующие параметры, при которых будет выполняться условие Гурвица. Т.е. система будет устойчивой.