2. Математическое описание линейных систем автоматического управления

2.1. Постановка задачи

Целью рассмотрения и использования любой САУ может быть решение одной из двух задач: задача анализа САУ и задача синтеза САУ.

В первом случае рассматривается система с заданными и вполне определенными параметрами и требуется определить ее свойства. Во втором случае, наоборот, заданными являются свойства, которыми должна обладать система, т.е. требования к ней, и необходимо создать систему, т.е. определить ее параметры, удовлетворяющие этим требованиям. Необходимо отметить, что задача синтеза намного сложнее задачи анализа, из-за неоднозначности ее решения.

Порядок исследования САУ в обоих случаях включает математическое описание САУ, исследование её установившихся и переходных режимов. Математическое описание САУ начинается с разбиения её на звенья и описание этих звеньев. Последнее может осуществляться либо аналитически в виде уравнений, связывающих входные и выходные величины звена, либо графически в виде характеристик, описывающих эту связь. По уравнениям или характеристикам отдельных звеньев составляются уравнения или характеристики в целом, на основании которых и исследуется система.

Для математического описания систему разбивают на звенья исходя из удобства получения этого описания. Для этого систему следует разбить на возможно более простые звенья, но необходимо, чтобы они обладали направленностью действия.

Звеном направленного действия называется звено, которое передает воздействие только в одном направлении со входа на выход, так, что изменение состояния такого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. В результате при разбиении системы на звенья направленного действия математическое описание каждого такого звена может быть составлено без учёта связей его с другими звеньями.

Математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений или характеристик отдельных звеньев, образующих систему, дополненных уравнениями связи между звеньями.

Указанные уравнения описывают процессы в системе регулирования, т.е. изменения во времени всех координат системы. Зная уравнения элементов и уравнения связей, можно составить структурную схему САР. Структурные схемы САР характеризуют геометрию системы, т.е. показывают, из каких элементов состоит САР, и как эти элементы связаны между собой.

На структурных схемах указывают пути распространения сигналов в системе.

Совокупность полученных уравнений и даёт аналитическое описание САУ. При получении математического описания исходят из противоречивых требований. С одной стороны описание должно отражать свойства системы, с другой стороны оно должно быть простым, чтобы не усложнять исследование.

При этом также необходимо иметь в виду, что состояние системы автоматического управления, а также каждого входящего в неё элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных (обобщенных координат). Этими обобщенными координатами могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т.д.), так и механические (скорость, угол поворота, перемещение и т.д.) и другие величины. Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или её элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе и одну – на выходе.