4.3.3. Передаточная функция системы, охваченной обратной связью

Обратная связь может быть положительной, если сигнал обратной связи Х_ос суммируется со входным сигналом Х_вх, или отрицательной, если Х_ос вычитается из Х_вх (минус у суммирующего элемента). Для замкнутой системы (рис. 4.3.) можно записать уравнение:

(4.16)

где - передаточная функция звена обратной связи;

- передаточная функция разомкнутой части звена (системы).

Подставляя значение из второго уравнения системы (4.16) в первое, а затем полученное выражение в третье, получим:

или

Отсюда передаточная функция замкнутой системы при отрицатель­ной обратной связи

(4.17)

В случае положительной обратной связи

(4.18)

В общем случае имеем

(4.19)

Если в схеме имеется единичная обратная связь .

(4.20)

4.4. Преобразование структурных схем

На практике системы автоматического регулирования чаще всего оказываются многоконтурными, содержащими произвольное число свя­занных друг с другом контуров регулирования Передаточная функция системы в этом случае может быть найдена двумя путями

1) путем преобразования многоконтурной системы в эквивалентную одноконтурную,

2) применением готовой формулы для передаточной функции замк­нутой системы произвольной сложности.

В основном применяется первый путь. В этом случае возникает необ­ходимость преобразования структурных схем CAP и превращения их в одноконтурные. При преобразовании схем необходимо пользоваться пра­вилами преобразования. Кроме того, применяется ряд дополнительных правил преобразования, рассмотренных ниже.

1. Если структурная схема CAP не имеет перекрещивающихся обратных связей и все элементы, входящие в структурную схему, представляют со­бой группы элементов с последовательным или параллельным соедине­нием и с охватом их обратными связями, то передаточные функции сис­темы определяются на основании уже рассмотренных правил.

В качестве примера рассмотрим преобразование следующей струк­турной схемы (рис 4.8)

Для параллельно соединенных звеньев передаточная функция

В этом случае структурная схема (рис 4.8) превратится в схему (рис. 4.9, а )

Передаточная функция разомкнутой части CAP

Передаточная функция замкнутой CAP

2. Если структурная схема CAP имеет перекрещивающиеся параллельные связи, то расчёт передаточных функции систем усложняется.

Расчет передаточных функций в этих случаях можно выполнить, про­водя предварительные преобразования структурной схемы. Основной задачей преобразования многоконтурной структурной схемы является приведение ее к схеме с неперекрещивающимися связями, когда отдель­ные контуры схемы не сцепляются друг с другом. В результате исходная схема приводится к одноконтурной.

При таких преобразованиях пользуются некоторыми дополнительны­ми правилами преобразования структурных схем, которые сводятся к сле­дующему:

1. Перестановка однородных элементов и взаимная перестановка сумматоров всегда допустима, т к. от перестановки слагаемых сумма не меняется Можно перестанавливать местами динамические звенья с по­стоянными параметрами.

2. Перестановка сумматоров (прямое дублирование) При переносе сумматора через узел по ходу сигнала, или узла через сумматор против хода сигнала, сумматор необходимо повторить, т е. за­дублировать в ответвляющейся цепи, чтобы сохранить в ней величину сигнала X₃=X₁+X₂.

3. Перестановка узлов.

4. Передвижение сумматора с выхода элемента на его вход.

5. Передвижение сумматора со входа элемента на его выход.

6. Перенос звена через узел разветвления.

7. Правила переноса звеньев.

Пример преобразования структурной схемы.

Результирующая передаточная функция системы