3.3. Апериодическое звено первого порядка

Апериодическим звеном первого порядка называется такое звено, выходная величина которого в функции времени изменяется по экспоненциальному закону. Апериодические звенья называют также инерционным, статическим, релаксационным, одноёмкостным и др.

Инерционное звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка

,

где T – постоянная времени звена (T>0);

–коэффициент передачи (усиления) звена.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

К апериодическим звеньям можно отнести: R-L и R-C цепи, генераторы постоянного тока, фильтры, термисторы, механические устройства, имеющие массу и силу трения (без пружин) и другие подобные устройства, в которых возможно накопление какого-либо вида энергии и её рассеивания.

Операторное уравнение апериодического звена

Передаточная функция звена

На структурных схемах графически инерционное звено изображается следующим образом:

Временная характеристика, представляющая реакцию звена на ступенчатое воздействие x_вх(t)=1(t), определяется зависимостью .

Выходная величина в переходном режиме определяется

где вынужденная составляющая выходной величины

Cвободная составляющая выходной величины x_вых(t) определяется из следующего выражения

где P_k – корни характеристического уравнения звена

Tp+1=0,

т.е.

Отсюда

Начальное значение для переходной функции найдется

при t=0,

т.е.

или

Окончательно получаем следующее выражение для переходной функции:

(3.11)

или (3.12)

На рис.3.5,а приведена временная характеристика, представляющая собой экспоненту. Время достижения установившегося значения

при ,при.

Весовая функция

(3.13)

представлена на рис.3.5,б.

На структурных и функциональных схемах апериодические звенья условно изображаются следующим образом

Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

или

где модуль вектораW (jω);

аргумент вектора W (jω).

АФХ представляет собой окружность радиусом с центром в точке 0, лежащей на оси абсцисс на расстоянииот начала координат.

Уравнения вещественной и мнимой характеристик

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) может быть получена путём логарифмирования выражения для A(ω).

В этом выражении слагаемое представляет постоянную величину, не зависящую от частоты. Рассмотрим вторую составляющую ЛАЧХ

.

Полагая, что <<1, получим.

Если »1, пренебрегаем единицей и получаем, что соответствует наклону характеристики, равному.

ЛАЧХ апериодического звена может быть получен как сумма , т.е. суммированием ординат этих двух кривых (рис.3.8). Следовательно, приближённая ЛАЧХ состоит из двух асимптот. Первая представляет прямую, параллельную оси абсцисс и отстоит от неё на расстоянииВторая наклонена к оси абсцисс с наклоном. Сопряжение горизонтальной и наклонной прямой производится в точке, соответствующейчастоте сопряжения . Частота, при которойL(ω) пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Приближённая ЛАЧХ называется асимптотической. Такое название связано с тем, что эта характеристика составлена из двух асимптот, к которым стремится ЛАЧХ при ω→ 0 и ω→ ∞.

При

Т.о., максимальное расхождение между истинной и асимптотической ЛАЧХ равно всего 3дб. Поэтому при практических построениях ЛАЧХ статических звеньев первого порядка используют обычно асимптотические ЛАЧХ.

Если частотные характеристики получены экспериментально, по ним нетрудно определить параметры звена T и k, пользуясь описанной выше зависимостью между этими характеристиками и передаточной функцией.

На примере этого звена явно видно, что величина полосы пропускания звеном частот, т.е. ширина частотной характеристики, является мерой быстродействия звена. Полоса пропускания частот обычно определяется диапазоном частот от, на декаду меньшей минимальной частоты сопряжения, до, на декаду большей максимальной частоты сопряжения. Чем больше этот диапазон частот, тем короче его переходная характеристика, т.е. меньше инерционность звена.