[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)
.pdf
302 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
0.999998 |
|
|
|
|
0.999996 |
|
|
|
|
Рис. 106. x(t) (пунктир), y(t) для b < 1 + a2 |
||||
1.5 |
|
|
|
|
1.25 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.75 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
|
Рис. 107. Фазовые траектории для b < 1 + a2 |
||||
2.5 |
|
|
|
|
2.25 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1.75 |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
1.25 |
|
|
|
|
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
0.75 |
|
|
|
|
Рис. 108. x(t) (пунктир), y(t) для b = 1 + a2 |
||||
2.5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
0.5 |
1.5 |
2 |
2.5 |
|
0.5 |
|
|
|
|
Рис. 109. Фазовые траектории для b = 1 + a2 |
||||
§ 13. Странный аттрактор Лоренца |
303 |
||||
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
|
Рис. 110. x(t) (пунктир), y(t) для b > 1 + a2 |
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
Рис. 111. Фазовые траектории для b > 1 + a2 |
|
||||
§ 13. Странный аттрактор Лоренца |
|
||||
Исключительные возможности системы Mathematica прекрасно демонстрируются на следующем примере, упоминавшемся в Доп. I, §4.
П р и м е р. Исследуем ДС
x = 10x + 10y,
y = 28x − y − xz,z = −8/3z + xy.
Р е ш е н и е. Найдем положение равновесия ДС. Для этого составим уравнения из правых частей и решим их:
eq1 = 10x+10y; eq2 = 28x-y-xz; eq3=-8/3z+xy
sol = Solve[{eq1 == 0, eq2 == 0, eq3 == 0}, {x, y}] // Flatten
{y → 0, x → 0, z → 0, |
|
|
|
|
|
||||
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
√ |
|
|
x → -6 |
2, y → -6 2, z → 27, x → 6 |
|
2, y → 6 2, z → 27} |
||||||
Система имеет три особые точки, исследуем их на устойчивость. Для этого выполним для каждой точки действия, аналогичные действиям в предыдущих примерах, т. е. переносим начало координат в эту точку, составляем характеристическую матрицу из коэффициентов при линей-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
2.Бугpов Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1981.
3.Егоpов А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
4.Еpугин Н. П. Книга для чтения по общему курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1970.
5.Зайцев И. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным диффеpенциальным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
6.Камке Э. Справочник по обыкновенным диффеpенциальным уравнениям / Пер. с нем.; Под. ред. Н. Х. Розова. — М.: Наука, 1976.
7.Каpташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. — М.: Наука, 1986.
8. Кудpявцев Л. Д. и др. Краткий курс математического анализа. В 2 т. — 3-е изд., пеpеpаб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
9.Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1967.
10.Мищенко Е. Ф. Дифференциальное уравнение обыкновенное // Математическая энциклопедия. Т. 2. — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — С. 282–290.
11.Петpовский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.–Л.: ГИТТЛ, 1949.
12.Понтpягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982.
13. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 3-е изд., воспр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
14.Тpеногин В. А. Функциональный анализ. — 4-е изд., исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
15.Тpеногин В. А. Критические замечания о преподавании курса ДУ в технических вузах // Современные проблемы преподавания математики и информатике: Материалы Международной научной конференции, посвященной 100-летию академика С. М. Никольского. — М.: издание мехмата МГУ, 2005. — С. 157–160.
16. Федоpюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985.
17.Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2004.
18.Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: УРСС, 2000.
Список литературы |
309 |
Дополнительная литература
19.Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. — М.: Наука, 1987.
20.Андpонов А. А. Собрание трудов. — М.: Изд-во АН СССР, 1956.
21. Андpонов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981.
22.Аносов Д. В., Тpеногин В. А. Бифуркация // Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — С. 496–498.
23.Аpнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971.
24.Аpнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
25.Аpнольд В. И. Теория катастроф. — M.: МГУ, 1983.
26.Баутин Н.Н, Леонтович Е. Л. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1991.
27.Босс В. Лекции по математике. Дифференциальные уравнения. — М.: УРСС, 2004.
28.Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.
29.Богоявленский О. И. Методы качественной теории в астрофизике и газовой динамике. — М.: Наука, 1980.
30.Вайнбеpг М. М., Тpеногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.
31.Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.
32.Вольтеppа В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976.
33.Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.
34.Дьяконов В. П. Mathematica в математических и научно-технических расчетах. — М.: Солон-Пресс, 1983.
35.Жуpавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. — М.: Наука, 1988.
36.Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Пер. с англ.; Под ред. Н. Н. Моисеева. — М.: Мир, 1983.
37.Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
38.Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Миp, 1983.
39.Ляпунов А. М. Общая задача устойчивости движения. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
40.Маppи Дж. [Мюppей Дж.] Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях / Пер. с англ.; Под ред. А. Д. Мышкиса. — М.: Миp, 1983.
41.Маpсден Дж., Мак-Кpакен М. Бифуpкации рождения цикла и ее пpименения / Пер. с англ. — М.: Миp, 1980.
310 |
Список литературы |
42.Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения и малый паpаметp. — М.: Наука, 1975.
43.Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — 2-е изд., пеpеpаб. — М.: Наука 1981.
44.Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / Под ред. В. А. Тpеногина и А. Ф. Филиппова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
45.Николис Г., Пpигожин И. Самоорганизация в неравновесных средах / Пер. с англ. — М.: Мир, 1979.
46.Овсянников Л. В. Групповой анализ обыкновенных диффеpенциальным уравнений. — М.: Наука, 1978.
47. Постон Т., Стюаpт И. Теория катастроф и ее приложения / Пер.
с англ. — М.: Мир, 1980.
48.Пуанкаpе А. О кривых, определяемых дифференциальными уpавнениями // Избранные труды. Т. 1. — М.: Наука, 1971.
49.Ракитин В. И. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
50. Свирежев Ю. М. Нелинейные диссипативные структуры и катастрофы
в экологии. — М.: Наука, 1987.
51.Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике / Пер. с англ. — М.: Сов. радио, 1977.
52.Стокеp Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1958.
53.Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Ред.
|
Дж. Б. Келлеp и С. Антман; |
Пер. с |
англ.; |
Под |
ред. В. А. Тpеногина |
|
и В. И. Юдовича. — М.: Миp, 1974. |
|
|
|
|
54. |
Тимошенко С. П. Колебания |
в инженерном |
деле |
/ Пер. с англ. — |
|
|
2-е изд. — М.: Наука, 1967. |
|
|
|
|
55. |
Тpеногин В. А. Ветвление решений // |
Математическая энциклопедия. |
|||
Т. 1. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — С. 676–679.
56.Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — М.: Наука, 1986.
57.Хакен Д. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. — М.: Миp, 1993.
58.Худяев С. И. Поpоговые явления в нелинейных уравнениях. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
59.Эppоусмит Д, Плейс К. Обыкновенные диффеpенциальным уравнения. Качественная теория с приложениями / Пер. с англ.; Под ред. Н. Х. Розова. — М.: Миp, 1966.
60.Berglund N. Geometrical Theory of Differential Equations. — Lecture Notes, 2001.
61.Brauer F., Nohel J. A. The qualitative theory of ordinary differential equations. — Dove Publication., 1989.
62.Carr J. Applications of Center Manyfold Theory. — Springer, 1981.
63.Chicone C. Ordinary Differential Equations with Applications. — Springer, 1990.
64.Crauford J. D. Introduction to bifurcation theory // Reviews of Modern Physics. 1991. V. 63, No. 4.