Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

2.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3230 31 32 > Следующая >>>

§ 6. Метод малого параметра

291

Получаем решение задачи:

y[x] /. sol

{1+x+

2x3

7x4

11x5

22x6

559x7

45 +

1260

447x8

1637x9

29549x10

}

1120

4536

90720

§6. Метод малого параметра

Пр и м е р. Для задачи Коши y + y = εxy2, y(0) = 1 найти три члена разложения решения по степеням малого параметра ε.

Поскольку правая часть уравнения аналитична по y, ε, решение ищем в виде

n=3;

y[x_]:= εi yi[x];

i=0

Подставим ряд в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ε:

eq = Expand[y’[x] + y[x] - ε x y[x]2];

eq1 = Table[Coefﬁcient[eq,ε, i] == 0, {i, 0, n}] {y0[x]+y0’[x] == 0,-xy0[x]2 + y1[x] + y1’[x] == 0, -2xy0[x]y1[x] + y2[x] + y2’[x]==0,

-xy1[x]2 - 2xy0[x]y2[x] + y3[x] + y3’[x]==0}

Запишем начальные условия:

cond = {y0[0] == 1, y1[0] == 0, y2[0] == 0, y3[0] == 0};

Теперь последовательно решаем рекуррентную систему eq1, используя начальные условия cond:

ust={};

Do[r1 = DSolve[{eq2[[i + 1]] /. ust, cond[[i + 1]]}, yi[x],x] // Flatten; ust = Append[ust, r1[[1]]];

Print[r1], {i, 0, n}] {y0[x] → e−x}

{y1[x] → e−2x(-1+ex-x)} {y2[x] → e−3x(-1+ex-x)2} {y3[x] → e−4x(-1+ex-x)3}

Итак, получаем решение нашей задачи:

y[x]/.{ y[x] → εi yi[x] } /.ust

i=0

e−x+e−2x(-1+ex-x)ε+ e−3x(-1+ex-x)2ε2 +e−4x(-1+ex-x)3ε3

19*

292 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

§ 7. Уравнение Эйри

П р и м е р. Рассмотрим следующую	задачу Коши для ДУ Эйри
(см. гл. V).
Дано уравнение y + xy, y(0) = 1,	y (0) = 0. Построить решение

ввиде степенного ряда.

Ре ш е н и е. Решение можно найти в явном виде:

sol = DSolve[{y”[x] + xy[x] == 0, y[0] == 1, y’[0] == 0}, y[x], x] {{y[x] → 12 (32/3AiryAi[(-1)1/3x]Gamma[ 12 ]+

31/6 AiryBi[(-1)1/3x] Gamma[ 12 ])}}

Построим график (рис. 94):

gr1 = Plot[{y[x] /. sol }, {x, 0, 20}];
1
0.75
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
-0.75
-1	-0.5	0	0.5	1

Рис. 94

Найдем решение в виде степенного ряда:

∞

y[x_] := an xn

n=0

Подставим ряд в уравнение, получим тождество:

y”[x] + xy[x]==0

∞∞

(-1+n)nx−2+nan + x xn an==0

n=0

Объединяем две суммы в одну, получим

∞

2a2 + ((-1+n)n an + an-3)xn-2==0

n=2

Отсюда 2a2 = 0, (−1 + n)nan + an−3, и получаем рекуррентную формулу an = −an−3/(n(n − 1)).

§ 8. Задача о релаксационных колебаниях

293

Запишем эти соотношения для коэффициентов и многочлена степени 100 в виде операторов:

a0=1; a1=0; a24=0;

Do[an =- an-3/(n(n-1)),{n,3,100}];

100

y1= xn an

n=0

Выведем первые 10 членов многочлена:

Take[y1,10]

	x3			x6		x9		x12		x15		x18
1-		+			-		+		-		+	109930867200 -
	6			180		12960		1710720		359251200
			x21					x24				x27

46170964224000 + 25486372251648000 - 17891433320656896000

Построим график (рис. 95):

gr2 = Plot[{y1}, {x, 0, 10}]

0.75

0.5

0.25

-0.25 -0.5

Рис. 95

Как видим из рисунков, графики совпадают. Решение в виде степенного ряда можно построить практически любой длины.

§ 8. Задача о релаксационных колебаниях

Пример 1. Построить график решения уравнения, описывающего релаксационные колебания,

x + x − α(1 − x2)x = 0.

Р е ш е н и е. Напишем уравнение и его численное решение для различных значений параметра α (α = 10 на рис. 96, α = 100 на рис. 97):

sol[α_] := NDSolve[{x”[t] + x[t] - α(1 - x[t]2)x’[t] == 0, x’[0] == 1, x[0] == 0}, x[t],{t,0,α *10}, MaxStep → ∞];

Plot[Evaluate[x[t] /. sol[10], {t, 0, 200}], AxesLabel → {"t "X"}] Plot[Evaluate[x[t] /. sol[100], {t, 0, 200}], AxesLabel → {"t "X"}]

294 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica
X
2
1
50	100	150	200 t
-1
-2
	Рис. 96
X
2
1
50	100	150	200 t
-1
-2
	Рис. 97
Пример 2. Для уравнения из примера 1 при малых α (α = 0,01 на
рис. 98) колебания близки к гармоническим (аналитическим методом
Линштедта–Пуанкаре эти случаи изучены в Дополнении I):
sol = NDSolve[{x”[t] + x[t] - 0.01(1-x[t]2) x’[t]==0, x’[0]==1, x[0]==0},
x[t],{t,0,20, MaxStep → ∞];
Plot[Evaluate[x[t] /. sol, {t, 0, 20}], AxesLabel → {"t "X"}]
X
1
0.5
5	10	15	20 t
-0.5
-1
	Рис. 98

§ 9. Устойчивый и неустойчивый предельные циклы

295

§9. Устойчивый и неустойчивый предельные циклы

Пример 1. Устойчивый предельный цикл.

Построить фазовый портрет автономной системы и показать, что

система имеет устойчивый предельный цикл:

x˙ = x(1 − x2 − y2) − y, y˙ = y(1 − x2 − y2) + x.

Р е ш е н и е. Запишем уравнения системы:

eqx[x_,y_]:=x(1-x2-y2)-y; eqy[x_,y_]:=y(1-x2-y2)+x;

Определим функцию sol[x0, y0] как численное решение системы при начальных условиях x(0) = x0, y(0) = y0 на отрезке [0, 10]:

sol[x0_, y0_] := {x[t], y[t]} /.

NDSolve[{x’[t] == eqx[x[t], y[t]], y’[t] == eqy[x[t], y[t]], x[0] == x0, y[0] == y0}, {x[t], y[t]}, {t, 0, 10}];

Построим графики численных решений для различных начальных значений x0, y0 (рис. 99):

gr1 = ParametricPlot[Evaluate[Flatten[Table[sol[x0, y0],

{x0, -2, 2, 0.5}, {y0, -2, 2, 0.5}], 1]], {t, 0, 10}]

-2

-1

-2

Рис. 99

Нарисуем векторное поле этой системы (рис. 100):

«Graphics‘PlotField‘

gr2 = PlotVectorField[{eqx[x, y], eqy[x, y] },

{x, -2, 2}, {y,-2, 2}, PlotPoints → 25];

Совместим оба рисунка:

Show[gr1, gr2]

и получим фазовый портрет (рис. 101).

= −x(1 − x2 − y2) − y,

= −y(1 − x2 − y2) + x.

296 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

		2
		1
-2	-1	1	2
		-1
		-2
Рис. 100		Рис. 101

Пример 17. Неустойчивый предельный цикл.

Упражнение. Пользуясь системой Mathematica, построить фазовый портрет автономной системы, показать, что она имеет неустойчи-

вый предельный цикл, и построить соответствующие графики:

x˙ y˙

Р е ш е н и е. Запишем правую часть системы: eqx[x_, y_] := -y - x(1-x2-y2) eqx[x_, y_] := x - y(1-x2-y2)

§10. Нахождение положений равновесия ДС

Пр и м е р. Найти положения равновесия ДС (стационарные решения системы ДУ)

x˙ = x(x2 + y2 − 1)(x2 + y2 − 4) − y, y˙ = (y(x2 + y2) + x3 )(x2 + y2 − 4) + x.

Напомним, что положения равновесия ДС (автономной системы) x = f(x, y),

y = g(x, y)

определяются как решение системы алгебраических уравнений: f(x,y) = 0,

g(x,y) = 0.

Сформируем систему алгебраических уравнений:

eq={x(x2+y2-1)(x2+y2-4)-y==0, (y(x2+y2)+ x3 ) (x2+y2-4)+x==0}

§ 11. Система Лотки–Вольтерры с насыщением

297

решаем эту систему:

res = N[Solve[eq, x,y]]

{{y → 0., x → -1.}, {y → 0., x → 0.}, {y → 0., x → 1.}, {y → 0.907448 - 3.28081i, x → -3.82322 - 0.816339i}, {y → -0.907448 + 3.28081i, x → 3.82322 + 0.816339i}, {y → 0.907448 + 3.28081i, x → -3.82322 + 0.816339i}, {y → -0.907448 - 3.28081i, x → 3.82322 - 0.816339i}, {y → 0.+0.139514i, x → 0. + 0.0339987i},

{y → 0.-0.139514i, x → 0. - 0.0339987i}},

и выберем действительные решения.

Select[res, Head[#[[2]][[2]]] == Real &]

{{y → 0., x → -1.}, {y → 0., x → 0.}, {y → 0., x → 1.}}

Таким образом, находим три положения равновесия (0, 0), (0, −1), (0, 1).

§11. Система Лотки–Вольтерры с насыщением

Пр и м е р. Исследовать ДС

			−		xy
		x = 2x			xy	,
			1		+ sx
	y = −y +						,
				1 + sx
где s > 0 — параметр,	характеризующий насыщение хищников.

Р е ш е н и е. Найдем положения равновесия ДС. Для этого составим уравнения из правых частей и решим их:

eq1 = 2x - x y/(1 + s x); eq2 = x y/(1 + s x) - y;

sol = Solve[{eq1 == 0, eq2 == 0}, {x, y}] // Flatten

{x → 0, y → 0, y → −-12+s , x → −-11+s }

Выберем ненулевое решение:

sol= Take[sol,-2]

{y → −-12+s , x → −-11+s }

1 2

Итак, −−1 + s , −−1 + s — положение равновесия.

Далее задаем и реализуем в системе Mathematica следующий порядок действий.

298Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

1.Начало координат переносим в найденное положение равновесия.

2.Линеаризуем полученную ДС.

3.Находим собственные значения матрицы линеаризованной ДС (матрицы Якоби в точке положения равновесия):

y0 = y /. sol; x0 = x /. sol;

eq1 = Normal[Series[Simplify[Expand[eq1 /. {x → x + x0, y → y + y0}]],

{x, 0, 1}, {y, 0, 1}]];

eq2 = Normal[Series[Simplify[Expand[eq2 /. {x → x + x0, y → y + y0}]],

{x, 0, 1}, {y, 0, 1}]];

A = {{Coefﬁcient[eq1, x] /. y → 0, Coefﬁcient[eq1, y] /. x → 0}, {Coefﬁcient[eq2, x] /. y → 0, Coefﬁcient[eq2, y] /. x → 0}};

ev = Eigenvalues[A]

p p

{s- -2+2s+s2, s- -2+2s+s2}

√

Итак, найдены собственные значения λ1, 2 = s ± −2 + 2s + s2. При s = 0 положение равновесия является центром. В остальных случаях имеем неустойчивое положение равновесия: неустойчивый фокус или седло.

Построим графики решения ДС и фазовых траекторий.

Для этой цели определим функцию sol[x0, y0] как численное решение системы при заданных начальных условиях x0, y0:

sol[x0_, y0_] := NDSolve[{x’[t] == 2x[t] - x[t] y[t]/(1 + s x[t]), y’[t] == x[t] y[t]/(1 + s x[t]) - y[t], x[0] == x0, y[0] == y0}, {x[t], y[t]}, {t, 0, 100}, MaxSteps → ∞];

и набор значений параметра s

par = {0., 0.01};

Далее в цикле зададим построение графика решений для начальных значений (1, 1) и графика фазовых траекторий для различных начальных значений: (0,2; 2), (0,4; 2), (0,6; 2), (0,8; 2), (1, 2):

Do[s = par[[k]];

gr1 = Plot[Evaluate[{x[t], y[t]} /. sol[1, 1]], { t, 0, 100 },

PlotStyle → {Dashing[{ 0.015 }], {}}];

ParametricPlot[Evaluate[Flatten[Table[{x[t], y[t]} /. sol[m, n],

{m, 0.2, 1., 0.2}, {n, 2, 2, 1}], 1]], {t, 0, 20 }],{k, 1, 2}]

В результате выполнения этих операторов получаем графики, изображенные на рис. 102–104.

§ 11. Система Лотки–Вольтерры с насыщением						299
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
20	40	60		80	100
Рис. 102. x(t) (пунктир), y(t) при s = 0
4
3
2
1
0.5	1	1.5	2	2.5
Рис. 103. Фазовые траектории при s = 0

7
6
5
4
3
2
1
20	40	60	80	100
Рис. 104. x(t) (пунктир), y(t) при s = 0,01

Случай s = 0 соответствует классической системе Лотки–Вольтерры без насыщения (см. Доп. I). Эта система консервативна, и ей соответствует семейство замкнутых траекторий, окружающих положение равновесиия (см. Доп. I, §3). В §6 замкнутые траектории вычислены аналогичным методом Линдштедта–Пуанкаре.

300 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

При s > 0 имеем более адекватную действительности диссипативную систему Лотки–Вольтерры с насыщением. Здесь имеется устойчивый предельный цикл (см. Доп. I, §12).

На рис. 105 показана одна траектория, наматывающаяся на предельный цикл снаружи.

4
3
2
1
0.5	1	1.5	2	2.5	3
Рис. 105. Фазовые траектории при s = 0,01

§12. Брюсселятор

Пр и м е р. Исследуем ДС, предложенную брюссельской научной школой, как первое приближение к ДС Власова–Жаботинского (см. Доп. I, §12)

x = a − (b + 1)x + x2y,

y = bx − x2y, a > 0, b > 0, x > 0, y > 0.

Р е ш е н и е. Найдем сначала положения равновесия ДС. Для этого составим уравнения из правых частей и решим их:

eq1 = a-(b+1)x +x2y; eq2 = bx-x2y;

sol = Solve[{eq1 == 0, eq2 == 0}, {x, y}] // Flatten {y → ba , x → a}

Итак, ab , a — особая точка.

Далее переносим начало координат в эту точку:

Expand[eq1 /. {x → x + x0, y → y + y0}]

Expand[eq2 /. {x → x + x0, y → y + y0}]

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3230 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202535.76 Кб0zadanie_na_kr1 на 2 гл.docx
#
11.02.2015105.98 Кб10Zanyatie_1-novoeГРАММ"+" КОККИ.doc
#
11.02.2015507.09 Кб18Zanyatie_tsitotoxichesky_tetrad.pdf
#
12.11.2019224.6 Кб2Zaochnyy_etap.docx
#
11.02.2015246.27 Кб9zarubezhka_ekzamen_33.doc
#
25.03.20162.76 Mб52[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org).pdf
#
11.02.2015157.7 Кб33_doc_protokol_rod.doc
#
01.05.2025253.44 Кб0______ 1. ________ (____ _ ______ GMP).doc
#
01.05.202571.62 Кб1«Президентские состязания».docx
#
01.07.20259.02 Mб0«Святой праведный воин Феодор Ушаков, адмирал флота Российского.doc
#
29.09.2019550.4 Кб21Абдуллова В. Крахмал.doc