[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

282 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

Рис. 86

Дальнейшие примеры демонстрируют эффективность использования системы Mathematica при решении дифференциальных уравнений.

Пример 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с раз-

деляющимися переменными.

Найти все решения уравнения (1 + x2)y = 2x 1 − y2.

Р е ш е н и е. Это уравнение с разделяющимися переменными

Запишем равество интегралов в Mathematica и получим результат:

Заметим, что Mathematica использует для обозначения фунций начальные прописные буквы, в данном примере ArcSin[y] = arcsin(y), а Log[y] = ln(y).

Теперь решим это уравнение с помощью встроенной функции

DSolve:

q

sol = DSolve[y’[x](1 + x2) y’[x] == 2x 1 - y[x]2, y[x], x]

y[x] /. sol

{{y → Function[x, Sin[C[1] + Log[1+x2]]]}}

Sin[C[1] + Log[1 +x2]]

Пример 2. Решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

Решить уравнение (3xy2 − x2)dx + (3xy2 − 6y2 − 1)dy = 0.

Р е ш е н и е. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

P[x, y] := 3xy2 - x2; Q[x, y] := 3xy2 - 6y2 - 1;

D[P[x, y], y] == D[Q[x, y], x]

True

Потенциальную функцию U(x, y) будем искать в виде:

U[x, y] = P[x,y] dx +C[y]

−x3 + 3x2y2 + C[y] 3 2

Чтобы найти неизвестную функцию C[y], продифференцируем U(x, y) по y и результат приравняем к Q(x, y):

eq1 = D[U[x, y], y] == Q[x,y] // Simplify

1 + 6y2 + C’[y] == 0

Полученное относительно C[y] уравнение легко интегрируется:

sol = DSolve[eq1, C[y], y] // Flatten

{{C[y] -> - y - 2y2 + C[1]}}

Тогда можно получить первый интеграл рассматриваемого ДУ:

(U[x, y] /. sol1) == 0

-x3 - y + 3x2y2 - 2y3 + C[1] == 0 3 2

Пример 3. Найти общее решение линейного неоднородного ДУ первого порядка

y + 2xy = xe−x2 sin x.

Это решение y = a(x)y + b(x) ищется по формуле (см. главу I)

Запишем эту формулу в системе Mathematica и получим результат:

C e−x2 + e−x2 (-x cos[x] + sin[x])

Подставим решение в уравнение:

y’[x] + 2xy[x] - xe−x2 sin[x] /. y → res // Simplify

0

Теперь решим это уравнение с помощью встроенной функции DSolve:

sol = DSolve[y’[x] + 2xy[x] == xe−x2 sin(x), y[x], x]

{{y → Function[x, C[1] e−x2 + e−x2 (-x cos [x] + sin[x])]}}

284 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

Получим решение в явном виде:

y[x] /. sol

{C[1] e−x2 + e−x2 (-x cos [x] + sin[x])}

Пример 4. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Построить решение уравнения ангармонических колебаний x +

+2ax + bx = 0 для параметров a = 0,1, b = 1.

Ре ш е н и е. Найдем общее решение этого уравнения:

DSolve[x”[t] + 2a x’[t] + b x[t] == 0, x[t], t]

√√

{{x[t] → e(−a− a2−b)t C[1] + e(−a+ a2−b)t C[2]}}

Обозначим функцией sol(a, b, x0, y0) решение уравнения с начальными условиями x(0) = x0, x (0) = y0:

sol[a_, b_, x0_, y0_] :=

x[t] /. DSolve[x”[t] + a x’[t] + b x[t] == 0, x[0] == x0, x’[0] == y0, x[t], t][[1]]

Изобразим на графике (рис. 87) решения этого уравнения при различных начальных условиях:

Plot[Evaluate[{sol[0.1, 2, 1, 0.3], sol[0.1, 1, 0, 1], sol[0.1, 1, 0.5, 0]}], {t, 0, 10},

PlotStyle → {, Dashing[{0.01}], Dashing[{0.03}]}]

Напишем уравнение и решим его с помощью функции DSolve:

eq = {y’[x] == y[x]Tan[x] + 1/Cos[x]2, y[0] == 0}

sol = DSolve[eq, y[x], x] // Flatten

{y[x] → 2 ArcTanh[Tan[ 2xx ]] Sec[x]}

Пример 8. Решить ДУ

y = 4cosx −y1 y(0) = 0.

Проинтегрируем наше уравнение с разделяющимися переменными и получим первый интеграл:

Cos[y] dy - (4x - 1) dx == C

x - 2x2 + Sin[y] == C

Напишем уравнение и решим его с помощью функции DSolve:

eq = {y’[x] == (4x - 1)/Cos[y[x]], y[0] == 0};

sol = DSolve[eq, y[x], x] // Flatten

{y[x] → - ArcSin[x - 2x2]}

Построим график решения на отрезке определения решения [−1/2, 1] (рис. 91):

Plot[ y[x] /. sol , {x, -1/2,1}]

Y 2

1.5

1

0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1 X

-0.5

-1

Рис. 91

288Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

Пример 9. Построить интегральные кривые ДУ

y = p 1 .

1 − x2 − y2

Определим функцию sol[x0, y0] как численное решение нашего уравнения с начальными условиями x0, y0:

В цикле, для различных начальных условий, численно решим уравнение, выберем решения с нулевой мнимой частью и построим графики в виде таблицы. Затем все графики отобразим на одном чертеже (рис. 92). Для наглядности нарисуем окружность радиуса 1, а жирными точками обозначим начальные условия:

gr = { };

Do[sol1 = sol[x0, y0];

l = Select[Table[{Evaluate[y[x] /. sol1], x}, {x, x0, 1, 0.01}], Abs[Im [#[[1]]]] == 0 &];

gr = Append[gr, ListPlot[l,PlotJoined → True, DisplayFunction → Identity]],

{x0, -0.7, 0.2, 0.2}, {y0, -0.7, 0.2, 0.2}];

gr1 = ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2 π, DisplayFunction → Identity}]; ll = Table[Point[{x, y}], {x, -0.7, 0.2, 0.2}, {y, -0.7, 0.2, 0.2}];

grp = Graphics[{PointSize[0.015],ll}];

Show[gr,gr1,grp, DisplayFunction → $DisplayFunction]

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 92

290 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

§5. Нахождение решения в виде степенного ряда

Пр и м е р. В задаче Коши y = y2 − x, y(0) = 1 найти решение в ви-

де степенного ряда.

Р е ш е н и е. Функция y2 − x является аналитической по переменным x, y в окрестности точки (0, 1), поэтому существует аналитическое решение в виде степенного ряда. Запишем это:

n=10;

n

y[x_] := aixi;

i=0

Подставим этот ряд в наше уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Получим систему уравнений относительно ai:

eq = Expand[y’[x] - y[x]2 + x];

eq1 = Table[Coefficient[eq, x, i] == 0, i, 0, n - 1] {-1+a1==0, 1-2a1+2a2==0, -a21-2a2+3a3==0,

-2a1a2-2a3+4a4==0, -a22-2a1a3-2a4+5a5==0,

-2a2a3-2a1a4-2a5+6a6==0, -a23-2a2a4-2a1a5-2a6+7a7==0, -2a3a4-2a2a5-2a1a6-2a7+8a8==0,

-a24-2a3a5-2a2a6-2a1a7-2a8+9a9==0,

-2a4a5-2a3a6-2a2a7- 2a1a8-2a9+10a10==0}

Так как y(0) = 1, то a0 = 1. Запишем это: a0=1;

Решаем систему уравнений относительно ai:

var = Table[ai,{i,1,n}]; sol = Solve[eq1, var]