[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

272 Доп. II. Приложения MATHCAD к задачам для обыкновенных ДУ

Рис. 78

Рис. 79

Данная система ДУ была исследована в Дополнении I. В системе координат (u, v) фазовые траектории при некоторых начальных значениях задачи являются замкнутыми кривыми вокруг положения равновесия. Одна из них и вычисляется в данной задаче (рис. 79). Меняя в некоторых пределах начальные данные, можно получать различные траектории из семейства этих траекторий.

Уменьшение числа хищников u(t) ведет к увеличению числа жертв v(t), что в свою очередь ведет к увеличению числа хищников (рис. 78)

идальнейшему периодическому чередованию численностей хищников

ижертв.

§10. Пример задачи с релаксационным колебанием

Пр и м е р. Используя блок решения с функцией Odesolve(), найти решение начальной задачи x¨ + x − k · (1 − x2) · x˙ = 0, x(0) = 1, x˙ (0) = 1 на отрезке [a, b]. Построить график интегральной кривой.

Поставленная для численного решения задача Коши для ДУ — задача Ван дер Поля с параметром k — имеет различные приложения (см. Дополнение I).

274 Доп. II. Приложения MATHCAD к задачам для обыкновенных ДУ

Рис. 81

Промежутки релаксации — это промежутки, где скорость почти равна нулю (от −2 до −1 и от 1 до 2 на рис. 82).

Рис. 82

§ 11. Численное моделирование задачи о тепловом взрыве

Математическая модель теплового взрыва, принадлежащая лауреату Нобелевской премии академику Н. Н. Семёнову, была рассмотрена в Дополнении I.

θ(0) = 0 на отрезке [a, b], используя блок решения с функцией Odesolve(). Построить график интегральной кривой.

Р е ш е н и е. Частные случаи решения задачи, когда β = 1/8 при различных величинах k, выбор которых далее мотивирован поведением правой части дифференциального уравнения, являются типичными для

276 Доп. II. Приложения MATHCAD к задачам для обыкновенных ДУ

На рис. 84, а наблюдается низкотемпературный режим химической реакции при малых значениях параметра k. Когда параметр k переходит через критическое (бифуркационное) значение k*, температура скачком поднимается до очень больших значений (рис. 84, б). На рис. 84, в наблюдается явление теплового взрыва.

Рис. 84

З а м е ч а н и е. Значения θ ≈ 1,3729 и k ≈ 0,4253 получены в прикладной программе MATHCAD как решение системы уравнений

Д о п о л н е н и е III

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ MATHEMATICA

Н. И. Земцова, В. А. Треногин

Система компьютерной алгебры Mathematica, разработанная американской компанией Wolfram Research Inc., является одним из универсальных программных средств, предназначенных в первую очередь для выполнения технических расчетов. В настоящее время время она с успехом используется не только в физике и математике, но и в таких областях, как кибернетика, биология, химия, экономика, финансовое и банковское дело, социология. Этому во многом способствовали не только исключительно мощные вычислительные возможности системы, но и простота и удобство работы с ней. Цель данной главы — познакомить читателя с применением системы символьных вычислений Mathematica для решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогичные задачи решаются в других современных компьютерных системах, таких, как Maple, MatLab, Maxima.

§ 1. Структура системы Mathematica

Система состоит из двух основных частей: вычислительное ядро (The Kernel) и оболочка (The Front End). Ядро представляет собой программное обеспечение, непосредственно выполняющее вычисления и работающее одинаково на всех типах компьютеров. Оболочка обеспечивает взаимодействие между ядром и пользователем. При этом вычислительное ядро и оболочка могут находиться как на одном, так и на разных компьютерах; в последнем случае связь между ними осуществляется по сети.

Наиболее общей и удобной для пользователей является оболочка, используемая при работе в операционной системе Windows. Она позволяет работать с ядром в интерактивном режиме, при котором команды, предназначенные для выполнения, и получаемые результаты изображаются на экране монитора.

278 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

Окно системы Mathematica 5 при ее запуске показано на рис. 85.

Рис. 85

Окно редактирования, называемое блокнотом или ноутбуком, состоит, как видно из рисунка, из команд пользователя и результатов, выводимых системой. Вводимые команды пользователя и выводимые результаты объединены в так называемые ячейки, отмеченные в правой части главного окна редактирования характерными квадратными скобками. Особенностью документов, создаваемых в системе Mathematica, является возможность соединять в них различные элементы, такие, как текст, команды, выполняемые ядром, получаемые при этом результаты в виде чисел, выражений, таблиц, графиков, звуков, а также рисунки. В простейшем случае работа с системой напоминает работу с обычным калькулятором и представляет собой диалог, состоящий из пар:

In[n] := Команда, вводимая пользователем Out[n] = Результат, выводимый системой

При этом команда пользователя сводится либо к выражению, которое нужно вычислить, либо к применению какой-либо встроенной функции, число которых в системе Mathematica превышает тысячу. Для выполнения команды достаточно набрать необходимое математическое выражение и одновременно нажать клавиши Shift + Enter. Для набора

команд и редактирования введенной информации можно использовать весь спектр возможностей клавиатуры и мыши, включая копирование (Copy), вырезание (Cut), вставки (Paste), удаление (Delete) и т. п. Кроме того, можно использовать инструментальные панели с множеством пиктограмм ввода математических символов, что позволяет представлять формулы в виде, близком к традиционным математическим обозначениям. Например, следующие два выражения эквивалентны:

y Sum i^2 1 , i, 1, 10

10

y i2 1

i 1

§2. Простейшие численные и символьные вычисления

всистеме Mathematica

2.1. Численные расчеты

Mathematica выполняет все известные операции с числами, производя вычисления с максимально возможной точностью. Рассмотрим несколько примеров.

а) Арифметические вычисления:

2 + 3/4

N[2 + 3/4]

11

4

2.75

100!

933262154439441526816992388562667004907159682643816214

685929638952175999932299156089414639761565182862536979

20827223758251185210916864000000000000000000000000

2.187143 {157}

2.29465 × 1053

б) Решение алгебраического уравнения:

NSolve[x6 – 3x4 + 17x – 3 == 0, x]

x 2.18311 , x 0.643543 1.40029 , x 0.643543 1.40029 ,x 0.176641 , x 1.64678 0.750866 , x 1.64678 0.750866

в) Нахождение минимального значения функции в заданной области:

NMinimize[Cos[x y] + x, x2 + y2 < = 10, x, y]

{-3.99011, {x → -2.99809, y → 1.0057} }

280 Доп. III. Решение задач с использованием системы Mathematica

г) Численное интегрирование функции:

NIntegrate[Sin[x2] / x2, {x, 0, 1 }]

0.967577

2.2. Символьные вычисления

Mathematica позволяет обрабатывать выражения, содержащие переменные или символы.

а) Преобразование алгебраических выражений:

(a - 2b)5 // Expand

a5 - 10a4b + 40a3b2 - 80a2b3 + 80ab4 - 32b5

б) Разложение в ряд Тейлора:

Series[ Cos[x2+3x] , {x,0,5}] x2+1

в) Вычисление неопределенного интеграла:

§ 3. Запись дифференциальных уравнений в системе Mathematica и их решение на примере простейших задач

Дифференциальное уравнение можно записать несколькими спосо-

(символ ∂ можно ввести с палитры BasicInput).

Как видим, искомая функция y и ее производные записываются с аргументом, заключенным в квадратные скобки: y[x], y [x], . . ..

3.1. Решение дифференциальных уравнений в символьном виде

Для решения в символьном виде используются следующие функции: