[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

262 Доп. II. Приложения MATHCAD к задачам для обыкновенных ДУ

бочий стол последовательностью обращений к меню: View ToolbarMath. Каждая кнопка на палитре инструментов Math открывает рабочие палитры различных математических операторов или символов (рис. 63). Можно вставлять любые операторы щелчком мыши на соответствующей кнопке рабочей панели инструментов или использованием

так называемых «горячих клавиш».

Как только указатель мыши задерживается на какой-либо пиктограмме панели инструмен- Рис. 64 тов, появляется сообщение о характере действия

кнопки; возможно также напоминание о горячих клавишах, вызывающих указанное действие. Пример показан на рис. 64.

§ 2. Простейшие вычисления. Операторы присваивания

Пример 1. Вычислить значение арифметического выражения

§ 4. Использование блока решений обыкновенных ДУ и систем ДУ 265

Если дважды щелкнуть по графику, появляется окно форматирования (рис. 69). Можно нанести координатные сетки (grid lines) по каждой оси, указать значения переменных (X-Y Axes); можно определить цвет, толщину линии, ее тип (Traces) и т. п.

Рис. 69

§4. Использование блока решений обыкновенных ДУ и систем ДУ

При решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ограничимся только одной функцией программы MATHCAD — Odesolve() (solving ordinary differential equations — решение обыкновенных дифференциальных уравнений). Решение некоторых краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений также можно получить с помощью функции Odesolve().

Функция Odesolve(vector,x,b,[step]) возвращает решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных относительно старших производных, в виде вектора функций, зависящих от x и удовлетворяющих либо начальным, либо краевым условиям, число которых равно сумме порядков дифференциальных уравнений. Аргументы: vector — вектор-столбец имен функций (при решении одного дифференциального уравнения используется функция odesolve(x,b,[step]); x — переменная интегрирования; b — конечная точка промежутка интегрирования; step — число шагов при вычислении решения (по выбору). Блок решения ограничен операторами Given (дано) и Odesolve(), между которыми располагаются дифференциальные уравнения с начальны-

Рис. 71

Р е ш е н и е. В гл. V, §1 интегральную кривую для этой задачи получали методом изоклин. График решения представлен на рис. 72.

Рис. 72

Пример 3. Используя блок решения с функцией Odesolve(), найти решение начальной задачи y + y − 21 y2 = 0, y(0) = 0, y (0) = 1 на

отрезке [a, b]. Построить график интегральной кривой. Р е ш е н и е.

268 Доп. II. Приложения MATHCAD к задачам для обыкновенных ДУ

Решением является периодическая функция (рис. 73). Качественный анализ аналогичного дифференциального уравнения проводился в Дополнении I, §5.

Рис. 73

§6. Решение нелинейной задачи Коши

смалым параметром при производной

Пр и м е р. Используя блок решения с функцией Odesolve(), найти

решение начальной задачи 10001 y = x2 − y2, y(0) = 1 на отрезке [a, b]. Построить график интегральной кривой.

Р е ш е н и е. Здесь принят метод решения adaptive.

Этот пример является типичной задачей сингулярного возмущения. Решение аналогичной линейной задачи аналитическим методом рассмотрено в гл. V. Коэффициент 1/1000 при производной играет роль

малого параметра. Если пренебречь величиной 10001 y , получим урав-

нение x2 − y2 = 0 (вырожденное уравнение). Приближенным решением исходной задачи Коши является функция y = x. Точное решение задачи в малой окрестности начала координат резко уходит на свое начальное значение y(0) = 1. Это явление пограничного слоя хорошо наблюдается на рис. 74 и 75.

Рис. 74

Рис. 75

§7. Пример решения краевой задачи

Пр и м е р. Используя блок решения с функцией Odesolve(), найти решение краевой задачи y + y + y = − sin x · x · e4x, y(0) = 0, y(1) = 0

на отрезке [a, b]. Построить график интегральной кривой. Р е ш е н и е.

270 Доп. II. Приложения MATHCAD к задачам для обыкновенных ДУ

Это пример решения линейной краевой задачи для ДУ второго порядка (рис. 76). Соответствующая теория приведена в гл. II, §8. Читатель может убедиться в том, что для рассматриваемого ДУ первая краевая задача с непрерывной на отрезке правой частью имеет на нем единственное решение.

Рис. 76

§ 8. Пример задачи с периодическим биением

Ниже явление биения иллюстрируется на примере задачи о вынужденных колебаниях для задачи с трением (см. Дополнение I). Поскольку частоты здесь соизмеримы, то биение оказывается периодической функцией.

П р и м е р. Используя блок решения с функцией Odesolve(), найти решение начальной задачи x¨ + 2 · k · x˙ + ω02 · x = F · cos(ω · t), x(0) = 0, x˙ (0) = 0 на отрезке [a, b]. Построить график интегральной кривой.

Р е ш е н и е.

График решения представлен на рис. 77.

В программе MATHCAD имя переменной с нижним индексом, как например, ω0 следует вводить, набирая последовательно символ ω, далее нажатие на клавишу «.» (образование знакоместа нижнего индекса), наконец, символ 0.