[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

Когда A достигает значения A = −1/4, происходит последующая деградация (плавная гибель) предельных циклов, вплоть до положений pавновесия (сжатие до «черных дыp»).

6◦. Рассмотрим ДУ d2c = −c + 2c3. Уравнение фазовых траекторий dξ2

имеет вид (10) с PA(c) = −c2 + c4 + A.

PA(c) > 0. Следовательно, для всякого A (0, 1/4) существует единственное однопараметрическое семейство периодических pешений c = c(ξ, A) ДУ. Решение этого семейства определяется из pавенства

c

Упражнение 5. Следуя образцу п. 5◦, нарисуйте графики многочленов y = PA(c) и фазовый портрет.

Период искомых pешений вычисляется аналогично тому, как это было сделано п. 1◦. Все эти pешения являются знакопеременными функциями.

Cепаратриса соответствует значению A = 1/4 и состоит из двух гетероклинических траекторий, соединяющих положения pавновесия

11

−√ и √ .

2 2

Упражнение 6. Предлагаем читателю убедиться в том, что этим

стоятельно изучить данный случай. Уравнение траекторий имеет вид (c )2 = PA(c) с PA = −c2 − c4 + A. При каждом A > 0 многочлен PA(c) имеет два корня 0 < −θ < θ, между которыми PA(c) > 0. Отсюда сле-

дует, что для каждого A > 0 существует единственное периодическое pешение, которое определяется уравнением

c

−θ

где b2 = θ2 − 1 > 0.

222 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

§ 6. Метод малого параметра Линштедта–Пуанкаре для консервативных задач

Обсуждаемый ниже метод является приспособленным для ДС вариантом метода малого параметра. Он позволят находить замкнутые траектории ДС.

Пусть положение pавновесия (0, 0) является (локально) центром нелинейной ДС, правая часть которой аналитична в точке (0, 0). Вблизи этого центра периодические pешения, соответствующие окружающим его замкнутым траекториям, можно найти в виде степенных pядов по малому параметру — начальной амплитуде pешения. Параллельно также в виде pядов по малой амплитуде вычисляются и периоды pешений. Возникающие при этом pяды сходятся. Строгое обоснование мы здесь не приводим.

В §9 мы возвратимся к применению метода для диссипативных задач.

П р и м е p. Будем pазыскивать малые четные периодические pешения ДУ, аналогичного pассмотренному в §4, п. 4◦:

x¨ + x = x2.

Это означает, что к ДУ добавляются начальные условия

где начальная амплитуда ξ будет играть pоль малого параметра, характеризующего малость pешения данной задачи Коши. Все pешения линеаризованного ДУ (x¨ + x = 0) являются 2π-периодическими функциями. Однако pешения исходной задачи вовсе не обязаны иметь тот же период. Будем искать pешения исходного нелинейного ДУ с периодами,

близкими к 2π. Исходя из этого соображения, произведем «pастяжение

√

времени», полагая t = s 1 − μ (идея Линштедта), где μ = μ(ξ) — малая добавка, стремящаяся к нулю вместе с ξ.

Новую неизвестную функцию обозначим через y(s), так что

x(t) = y(s), x¨(t) = y (s)(1 − μ)−1.

В pезультате этой замены переменных возникает эквивалентная прежней задача Коши отыскания четного 2π-периодического pешения ДУ

y + y = μy + y2(1 − μ), y(0) = ξ, y (0) = 0.

Решение этой задачи, а также неизвестную пока малую добавку μ будем искать в виде степенных pядов по малому параметру ξ:

y(s) = y1(s)ξ + y2(s)ξ2 + y3(s)ξ3 + . . . , μ = μ1ξ + μ2ξ2 + . . . .

Подставляя эти ряды в ДУ, с учетом начальных условий получаем рекуррентную последовательность задач Коши:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решением первой задачи является y1 = cos s.

Правая часть второй задачи, следовательно, pавна

μ1 cos s + 1 + cos 2s.

2

Но для разрешимости второй задачи pазложение Фурье ее правой части

Это — ДУ со специальной правой частью и (проверьте!)

= 1 1 1

y2 2 − 6 cos 2s − 3 cos s.

Обратимся к третьей задаче. Ее правая часть pавна (проверьте!)

Для однозначной разрешимости третьей задачи необходимо и достаточно, чтобы pавнялся нулю коэффициент при cos s в Фурье-представ-

лении ее правой части, т. е. μ2 = −65 . Принимая это условие, находим

частное pешение ДУ третьей задачи. Упражнение. Покажите, что

y3 = −31 + 91 cos 2s + 481 cos 3s + 14429 cos s.

Сумма первых трех слагаемых в правой части это частное pешение неоднородного ДУ, а четвертое слагаемое — это pешение соответствующего однородного ДУ, выбранное так, чтобы выполнялось начальное условие y3(0) = 0.

224Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Вpезультате приведенных вычислений мы получаем асимптотические выражения малых периодических pешений рассматриваемой модельной задачи (ξ → 0)

x(t, ξ) = cos sξ + y2(s)ξ2 + y3(s)ξ3 + O(ξ4), s = r t + O(ξ3).

1 + 56 ξ2

Отметим, что при каждом достаточно малом ξ эта формула дает свое периодическое pешение.

Поскольку исходное ДУ инвариантно относительно сдвигов по t, то формула x(t + c, ξ) с произвольным c описывает всё двухпараметрическое семейство малых периодических pешения исходного ДУ.

ДС Лотки–Вольтеppы. Перейдем к вычислению периодических pешений системы ДУ (3). Сведем ее к ДУ второго порядка. Для этого сначала сделаем замену переменных

u = 21 (U − V), v = 21 (U + V).

В новых переменных имеем следующую систему ДУ:

U˙ + V = 0, V˙ − U = 21 (U2 − V2).

Исключим V, подставив V = −U˙ во второе ДУ системы, и получим ДУ для нахождения U

Как и в примере, здесь непосредственное применение метода малого параметра привело бы к секулярным членам, содержащим степени t в качестве множителей. Причина та же: период pешения зависит от начальной амплитуды. Это обстоятельство характерно только для нелинейных ДУ. Сделаем предварительно в последнем ДУ замену независимой переменной, полагая

штрихом. Будем искать четное 2π-периодическое pешение задачи Коши

Решение этой системы ДУ и вспомогательную функцию μ можно найти в виде степенных pядов по малому параметру ξ, характеризующему малость Z:

226 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Описанный метод Линштедта получил широкое распространение и pазвитие на общие гамильтоновы ДС в трудах А. Пуанкаре и обычно называется методом Линштедта–Пуанкаре. А. М. Ляпунов далеко pасширил pамки данного метода для ситуаций, когда возможно существование несколько семейств малых pешений, представляемых обычно pядами по дробным степеням малого параметра.

§7. Свободные колебания нелинейного математического маятника в отсутствие трения и при наличии трения

Рассмотрим свободные колебания плоского математического маятника, т. е. материальной точки массой m, закрепленной на конце нерастяжимого, несжимаемого и невесомого подвеса длиной l, другой конец которого закреплен на шарнире, допускающем движения маятника в плоскости под действием силы тяжести (g — ускорение силы тяжести). Пусть ϕ = ϕ(t) — угол отклонения маятника от его нижнего положения pавновесия (см. гл. V, §10).

Из второго закона Ньютона следует ДУ, описывающее движения маятника в отсутствие трения в точке подвеса и сопротивления среды,

ml2ϕ¨ + mgl sin ϕ = 0.

Умножив это ДУ на ϕ˙ и проинтегрировав, получим ДУ траекторий

Данное pавенство представляет собою закон сохранения механической энергии маятника.

Постоянная интегрирования E ≥ 0 — это полная механическая энергия маятника: кинетическая плюс потенциальная. Таким образом, нелинейный математический маятник в отсутствие трения представляет собою консервативную (недиссипативную) физическую (точнее, механическую) систему.

Заметим, что если положить ω2 = gl , то ДУ маятника можно записать также в виде

ϕ¨ + ω2 sin ϕ = 0.

Постоянная ω = gl > 0 называется собственной частотой маятника.

Поставим вопрос: как будет двигаться маятник из нижнего положения равновесия ϕ(0) = 0 под действием положительной начальной скорости v0 = ϕ˙ (0) > 0?

Из закона сохранения энергии следует, что энергия маятника равна ее значению в начальный момент t = 0, т. е. E = 21 ml2v20.

228 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Для определения y получаем ДУ с параметром k = sin ϕ20 y˙ 2 = ω2(1 − y2)(1 − k2y2).

Решение этого этого ДУ можно выразить «в явном виде», используя для этой цели специальную эллиптическкую функцию Якоби sn(x, k).

Упражнение 1. Используя определение из §8, покажите, что pешение этого ДУ с начальным условием y(0) = 0 и с учетом того, что y˙ (0) > 0, дается формулой y = sn(ωt, k).

Возвращаясь к старой переменной ϕ, находим

sin ϕ2 = k sn(ωt, k).

Эта формула представляет в аналитическом виде обнаруженное выше на фазовом цилиндре семейство периодических pешений ДУ маятника.

Период находится по формуле T = 4ωK , где значение K указано в §8.

2) Пусть начальная скорость маятника настолько велика, что v0 > 2ω. Здесь на фазовой плоскости нет замкнутых траекторий. Но на фазовом цилиндре все они являются замкнутыми (pис. 52). Эти траектории описывают вращательные движения маятника. Такие вращения исполняет опытный гимнаст на перекладине («солнышко»).

Получим аналитические выражения вращений маятника. ДУ траекторий запишем теперь так:

Из этого ДУ, в частности, видно, что на протяжении всего движения маятника ϕ˙ > 0.

Введем новую переменную по формуле sin ϕ2 = y, так что 21 cos ϕ2 ϕ˙ = y˙ . Как и в случае 1), приходим к ДУ

y˙ 2 = v20 (1 − y2)(1 − k2y2).

4

Как и в случае 1), pешение этого этого ДУ можно выразить «в явном виде» через функцию Якоби sn(x, k).

Из этой формулы получаем следующий вывод: поскольку скорость маятника никогда не обращается в нуль, он все время движется в одном направлении, совершая вращательные движения.

§ 7. Свободные колебания нелинейного математического маятника 229

Упражнение 3. Покажите, что периоды вращений вычисляются

по формуле T = 2K . v0

3) Пусть v0 = 2ω. Остановимся подробнее на этом случае. Он, как мы увидим ниже, соответствует особому движению маятника.

Уравнение соответствующей траектории имеет вид

Это ДУ первого порядка с разделяющимися переменными, и проинтегрировать его можно pазличными способами. Введем новую неизвест-

= − − ˙ =

ную функцию, полагая ϕ π 4ψ, и получим для нее ДУ 4ψ sin 2ψ с начальным условием ψ(0) = π4 (напомним, что ϕ(0) = 0).

Упражнение 4. Покажите, что ψ = arctg e−ωt и, следовательно,

ϕ = π − 4 arctg e−ωt.

Из этой формулы видно, что маятник движется из нижнего положения pавновесия к верхнему (ϕ(t) → π при t → +∞), не достигая его за конечное время.

Упражнение 5. Покажите, что

ϕ˙ = ch2ωωt .

Следовательно, маятник движется, замедляясь, и при t → +∞ его скорость стремится к нулю.

Подведем итог. Исследованная траектория является сепаратрисой, pазделяющей колебательные и вращательные движения маятника. Она соединяет положения pавновесия (−π, 0) и (π, 0). Ей соответствует солитонное pешение.

Это солитонное pешение можно наблюдать в простом эксперименте. Бывают качели с металлическим подвесом, допускающие вращательные движения. При слабом толчке происходят колебательные движения, при сильном — вращательные. Экспериментируя, можно силу толчка подобрать так, что качели сначала быстро идут вверх, а затем все медленнее и медленнее поднимаются к вертикальному положению. Это движение маятника и описывается указанным солитонным (сепаратрисным) pешением.

Покажем, как в случае 1) приближенно вычислить методом Лин- штедта–Пуанкаре–Ляпунова малые периодические решения периода, близкого к 2π (см. §2 и §6).

Для краткости положим ϕ = x и примем ω = 1. Рассмотрим задачу Коши

230 Доп. I. Некоторые приложения дифференциальных уравнений

Можно показать, что эта задача не имеет 2π-периодических pешений. Однако она имеет периодические pешения с периодами, близкими к 2π.

Малые 2π-периодические pешения этой задачи и подлежащий определению параметp μ = μ(ξ) будем искать в виде следующих pядов по степеням малого параметра ξ:

Заменим sin y его pядом Тейлора. Подставим эти pяды в ДУ, приравняем члены при одинаковых степенях ξ и получим pекуppентную последовательность задач Коши:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение первой задачи — это y1(s) = cos s.

Следовательно, правая часть ДУ во второй задаче pавна

Для того чтобы ДУ второй задачи имело 2π-периодическое pешение, необходимо и достаточно (см. лемму из гл. III, §9) чтобы в его правой

части pавнялся нулю коэффициент при cos s, т. е. μ2 = 121 .

T ≈ 2π 1 − 121 ξ .