[Trenogin_V.A.]_Obueknovennuee_differencialnuee_ur(BookZZ.org)

Пример 3. Видоизменяя примеp 2, рассмотрим задачу Коши для более общего ДУ

Отметим, что это ДУ представляет собою частный случай ДУ переноса вещества, вывод которого исходя из физических соображений приведен в [13].

Упражнение 2. Покажите, что замена неизвестной функции по формуле v = we−kt приводит к задаче Коши

и, таким образом, pешение исходной задачи Коши дается формулой z = ϕ(x − ct)e−kt. При c > 0, k > 0 это — бегущая вправо затухающая волна.

Упражнение 3. Изобразите z = z(t, x) на графиках, аналогичных рис. 28, 29, если c = 1, k = 1, ϕ(x) = e−x2 .

Пример 4. Рассмотрим другой вариант задачи Коши для ДУ переноса, описывающей, напримеp, просачивание вещества через стенку x = 0 (см. [13])

где ψ(t) C1( ) — известная функция.

Упражнение 4. Покажите, что pешение этой задачи находится

по формуле z = ψ t − xc e−kt.

§ 2. Общее pешение линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим в предположениях §1 однородное ДУ (2). Покажем, что в подходящим образом выбранных новых независимых переменных это ДУ может быть сведено к простейшему обыкновенному ДУ.

Пусть a(x, y) = 0 на D. Воспользуемся ДС (3). Пусть ее траектория дается формулами x = p(t), y = q(t), t (0, T). Так как p˙ (t) = = a(p(t), q(t)) = 0, то функция x = p(t) строго монотонна. Но тогда существует обратная функция t = p−1(x), так что y = q(p−1(x)).

Перейдем в ДУ (1) к новым независимым переменным и новой неизвестной функции по формулам

ξ = x, η = y − q(p−1(x)), z(x, y) = v(ξ, η).

Найдем выражения частных производных, входящих в ДУ. Отметим, что ∂∂ξx = 1, ∂∂ξy = 0, ∂η∂y = 1.

182 Гл. VII. Уравнения с частными производными первого порядка

Далее, используя правила дифференцирования сложной функции и обратной функции, а также ДС, получаем

Используя цепное правило, т. е. правило дифференцирования сложной функции, находим:

Подставив эти выражения в ДУ (2), получаем ДУ

a(x, y)∂∂ξv = 0.

Таким образом, в новых переменных ДУ (2) принимает вид простейшего ДУ ∂ξ∂v = 0. Его общее pешение, согласно примеру 1 из §1, дается

формулой v = V(η) с произвольной функцией V C1( ). Возвращаясь к старым переменным, видим, что общее pешение ДУ (3) дается формулой

z = V(y − q(p−1(x))).

Аналогично рассматривается случай, когда b(x, y) = 0 в D.

Общее pешение линейного однородного ДУ найдено в предположении, что в D либо a = 0, либо b = 0. В общем случае этим же путем можно найти локальное общее pешение. Зафиксируем точку P0(x0, y0) D. В ней либо a = 0, либо b = 0. Для определенности будем считать, что a(P0) = 0. Пусть x = p(t), y = q(t) — траектория ДС с начальным условием x(0) = x0, y(0) = y0, т. е. проходящая через точку P0. Повторяя изложенные выше рассуждения, придем к общему решению, определенному в окрестности точки P0.

Пример 1. Вернемся к ДУ бегущей волны (§1, пример 2). Перейдем в нем к новым независимым переменным и новой неиз-

вестной функции по формулам

ξ = x − ct, η = x, z(x, y) = v(ξ, η).

Упражнение 1. Покажите, что в этих новых переменных ДУ

имеет вид ∂∂ξv = 0.

Итак, общее pешение действительно дается формулой z = V(x − ct) с произвольной функцией V C1( ).

Рассмотрим неоднородное ДУ (1). Как найти его общее pешение? Напомним известное правило, справедливое для всяких линейных

уравнений (см. гл. II, §6): общее pешение линейного неоднородного уравнения равно общему решению соответствующего однородного уравнения плюс частное pешение неоднородного уравнения.

Пример 2. Найдем общее pешение ДУ

y∂∂xz − x∂∂zy = y2 − x2.

Сначала рассмотрим соответствующее однородное ДУ

вым ДУ интегралом.

Согласно теореме из §1 функция w = W(x2 + y2) при произвольной однозначной W C1( ) дает представление общего решения однородного ДУ. Заметим, что геометрически эта функция определяет общий вид поверхности вращения. Каждое ее сечение W = const является окружностью.

Частное pешение неоднородного ДУ легко угадать: это zч = xy. Ответ: z = W(x2 +y2)+xy, где W C1( ) — произвольная функция. З а м е ч а н и е. Пусть a = 0 в D. Если в неоднородном ДУ (1) перей-

ти к введенным выше новым переменным ξ, η, v, то это ДУ сведется к ДУ

∂v = h(ξ, η),

∂ξ

где h(ξ, η) — выражение функции a(x, y) в переменных ξ, η. Интегрируя это обыкновенное ДУ по ξ с параметром η, находим

его pешение v = V(η) + h(ξ, η)dξ. В этой формуле второе слагаемое,

записанное в старых переменных x, y, и даст частное pешение неоднородного ДУ (1).

Пример 3. Найдем общее pешение ДУ

∂z + ∂z = xt. ∂x ∂x

В переменных ξ = x, η = x−t, z(x, y) = v(ξ, η), замечая, что xt = ξ(ξ −η), получаем ДУ

184 Гл. VII. Уравнения с частными производными первого порядка

§3. Квазилинейные дифференциальные уравнения

иих характеристики

и непрерывно дифференцируемые на G (кратко a, b, c C1(G)), и пусть |a(x, y, z)| + |b(x, y, z)| > 0 на G. Рассмотрим ДУ

Это ДУ называется квазилинейным ДУ с частными производными первого порядка с независимыми переменными x и y. В качестве частных случаев оно содержит линейные ДУ из §1 и §2, а также более общее линейное ДУ

a(x, y)∂∂xz + b(x, y)∂∂zy + c(x, y)z = d(x, y),

частный случай которого встретился в примере 1 из §2.

График решения ДУ (4) z = z(x, y), (x, y) D, изображает интегральную поверхность — гладкую однозначную поверхность S, расположенную над (под) областью D. Пусть S: z = z(x, y), (x, y) D, — некоторая интегральная поверхность ДУ (4). Для каждой точки P(x, y, z) S рассмотрим вектор-столбец

n = ∂∂xz (P), ∂∂zy (P), −1 T,

являющийся вектором нормали к S в точке P. Этим на S задано непрерывное поле нормалей.

Рассмотрим на S еще одно векторное поле

l = (a(P), b(P), c(P))T.

Тогда ДУ (4) можно трактовать как ортогональность векторов n и l в каждой точке P S.

Пусть π(P) — касательная плоскость к S в точке P. Последнее

равенство означает, что вектор l лежит в касательной плоскости π(P). Это, в свою очередь, означает, что S является интегральной поверхностью тогда и только тогда, когда в каждой своей точке S касается векторного поля l. Иначе говоря, на поверхности S задано касательное

к ней векторное поле l.

Эта аналогия с геометрической трактовкой обыкновенного ДУ первого порядка приводит к следующим ее обобщениям.

ДС (5) называется характеристической системой ДУ (4), а ее траектории называются характеристиками ДУ (4).

Из вышеизложенного следует, что через каждую точку интегральной поверхности проходит единственная характеристика. Сама поверхность состоит из характеристик (расслаивается на характеристики).

В качестве иллюстрации вернемся сначала к линейному неоднородному ДУ (1).

Характеристическая система здесь упрощается и принимает вид

x˙ = a(x, y),

y˙ = b(x, y),z˙ = c(x, y).

Первые два ее уравнения образуют ДС (3). Следовательно, ДС (3) определяет проекции характеристик на плоскость переменных xy. Найдем одну из этих проекций:

x = x(t), y = y(t).

Подставляя x(t) и y(t) в третье уравнение, получаем для нахождения z = z(t) простейшее обыкновенное ДУ z˙ = c(x(t), y(t)), которое решается одним интегрированием.

Мы видели выше, что в линейном случае ДУ (1) знание характеристик позволяет найти первый интеграл ДС, а затем и общее pешение ДУ. При этом вдоль характеристики линейное ДУ с частными производными первого порядка вырождается в обыкновенное ДУ.

В случае однородного ДУ (2) характеристики являются линиями пересечения интегральной поверхности с плоскостями z = const.

Посмотрим теперь, как обстоит дело для квазилинейного ДУ. Пусть характеристическая система имеет в области G (или в меньшей области) два функционально независимых первых интеграла v1(x, y, z),

v2(x, y, z).

Уравнения v1(x, y, z) = C1, v2(x, y, z) = C2 с постоянными интегрирования C1, C2, принимающими значения из множеств значений функ-

ций v1, v2 соответственно, определяют два семейства поверхностей. Пересечения поверхностей из этих двух семейств и будут характеристиками.

Упражнение 1. Пусть функция двух переменных Φ(u1, u2) C( 2) произвольна. Покажите, что функция Φ(v1(x, y, z), v2(x, y, z)) также является первым интегралом характеристической системы (5).

Отметим, что уравнение

Φ(v1(x, y, z), v2(x, y, z)) = const

в естественных предположениях задает в неявном виде интегральную поверхность ДУ (4), если это уравнение можно однозначно разрешить относительно z локально или глобально.

186Гл. VII. Уравнения с частными производными первого порядка

Пр и м е р. Рассмотрим квазилинейное ДУ

(x − 1)∂∂xz + (y − 1)∂∂zy = z − 1.

Характеристическая система

x˙ = x − 1,

y˙ = y − 1,z˙ = z − 1

определяет характеристики:

x = 1 + C1et, y = 1 + C2et, z = 1 + C3et.

Исключая et, получаем два первых интеграла:

= y − 1 = z − 1 v1 x − 1 , v2 x − 1 .

Общий вид искомой интегральной поверхности определяется из урав-

нения

Φ xy −− 11 , xz −− 11 = const .

Решая это уравнение относительно второй переменной, находим

z= 1 + (x − 1)V y − 1 . x − 1

Упражнение 2. Проверьте, что при любой функции V C1( ) данная формула дает pешение рассматриваемого ДУ.

Можно показать, что это pешение является общим.

§4. Задача Коши для дифференциального уравнения

счастными производными

Пусть в области G 3 задана в параметрическом виде гладкая кривая

L: x = h(s), y = g(s), z = k(s), s1 < s < s2.

Задачей Коши для ДУ (4) называется следующая задача: найти интегральную поверхность этого ДУ, проходящую через кривую L.

Для линейных ДУ конкретные случаи задач Коши уже рассматривались. Так в примерах 2 и 3 из §1 кривая L может быть задана в виде t = 0, z = ϕ(x) с параметром x . В задаче Коши примера 4 из §1 кривую L можно задать равенствами x = 0, z = ψ(t) с параметром t .

В общем случае задача Коши может иметь неединственное pешение, представляющее собой многозначную или вырожденную поверхность. Однако, поскольку характеристики заполняют интегральную поверхность, вполне естественным является описываемый ниже путь ее построения.

Для каждого s (s1, s2) через точку (h(s), g(s), k(s)) проведем характеристику ДУ (4).

Всякая такая характеристика является решением задачи Коши для ДС (5) с начальными условиями

x|t=0 = h(s), y|t=0 = g(s), z|t=0 = k(s).

Придавая параметру s всевозможные значения на (s1, s2), получим семейство характеристик, каждая из которых исходит из кривой L. Пусть (t1(s), t2(s)) — интервал, содержащий точку t = 0, на котором определена характеристика, проходящая через точку (h(s), g(s), k(s)). Зададим полученное семейство характеристик формулами

x = x(t, s), y = y(t, s), z = z(t, s), t (t1(s), t2(s)), s1 < s < s2.

Эти формулы описывают в облаcти G параметрически (с параметрами t, s) некоторое двумерное многообразие или, говоря иначе, поверхность. Эта поверхность может быть многозначной и, возможно, вырожденной, но она составлена из семейства характеристик ДУ (4) и, значит, может быть названа интегральной поверхностью ДУ (4) в обобщенном смысле.

Однако в нашем определении решения предполагаются однозначность и гладкость поверхности, т. е. возможность ее представления в виде z = z(x, y) с гладкой функцией z(x, y), определенной в некоторой области D 2. Можно ли из найденного параметрического задания поверхности, хотя бы локально, получить однозначную интегральную поверхность?

Рассмотрим первые два уравнения параметрического представления

на некоторую область в плоскости переменных x, y. Если это отображение имеет непрерывное обратное отображение, то находим t = t(x, y), s = s(x, y). Подставляя эти выражения в третье уравнение параметрического представления, получаем явное выражение решения z = z(t(x, y), s(x, y)).

Эти соображения для системы уравнений x(t, s) = x, y(t, s) = y можно провести строго с помощью теоремы о неявной функции. За-

фиксируем s0 (s1, s2), и пусть x0 = x(0, s0), y0 = y(0, s0).

Будем рассматривать переменные t, s как неизвестные функции,

Условие J = 0 является достаточным для локальной непрерывной обратимости отображения.

188 Гл. VII. Уравнения с частными производными первого порядка

Действительно (см. [8]), по теореме о неявной функции (отображения) существуют α > 0 и β > 0, такие, что в квадрате max(|t|, |s−s0|) < β система уравнений x(t, s) = x, y(t, s) = y имеет единственное pешение

t= t(x, y), s = s(x, y), определенное в квадрате max(|x−x0|, |y−y0|) < α. Формула z = z(t(x, y), s(x, y)) определяет локальный кусок интег-

ральной поверхности в окрестности точки (x0, y0, z0), где z0 = z(x0, y0).

метрическую форму. Пусть l — проекция кривой L на плоскость xOy. Обозначим через Γs характеристику, проходящую через точку (h(s), g(s), k(s)), а через γs ее проекцию на плоскость x, y.

Условие J = 0 означает, что l не касается ни одной из проекций характеристик γs

(рис. 30).

Пример 1. Найдем pешение следующей задачи Коши:

Заметим, что общее pешение данного ДУ равно (почему?) z= V(x2 +y2)+x с произвольной функцией V C1( ).

Удовлетворяя начальному условию, получаем функциональное урав-

Убедитесь, что начальное условие выполняется.

Пример 2. Рассмотрим следующую задачу Коши: найти pешение простейшего ДУ (см. примеp 1 из §1) ∂∂xz = 0, удовлетворяющее на

прямой L: x = 1, z = 1 начальному условию z|L = 1.

Согласно примеру 1 из §1 общее pешение ДУ имеет вид z = V(y), где V(y) C1( ) — произвольная функция.

Удовлетворяя начальному условию, получаем, что V(1) = 1.

Таким образом, данная задача Коши имеет бесконечное множество решений вида z = V(y), с произвольной функцией V(y) C1( ), удовлетворяющей условию V(1) = 1.

Причина неединственности решения задачи Коши в данном случае состоит в том, что прямая L является характеристикой ДУ.

У п р а ж н е н и е. Найдите общий вид характеристик и убедитесь, что L — одна из них.

Обратим внимание читателя на следующую задачу Коши:

Типичными являются случаи p(z) = z, p(z) = z2, p(z) = arctg z.

Здесь проекции характеристик на плоскость могут пересекаться, что приводит к явлению прекращения решения при его продолжении по временной´ переменной t. Физические соображения подсказывают, что pешение существует и после разрыва, так что под решением в более широком смысле естественно понимать разрывную функцию, или, как говорят, ударную волну. Соответствующие примеры заинтересованный читатель найдет в [17, 13].

§ 5. Дифференциальные уравнения с несколькими независимыми переменными

Дадим краткий обзор результатов для квазилинейных ДУ с n независимыми переменными

или кратко (a(x, z), grad z) = c(x, z).

мой, а ее траектории называются характеристиками ДУ. Поверхность является интегральной в том и только в том случае, когда она вся состоит из характеристик.

Пусть характеристическая система имеет n функционально независимых первых интегралов ϕk(x, z), k = 1, 2, . . . , n.

Пусть функция V C1( n) произвольна, тогда функция

V(ϕ1(x, z), . . . , ϕn(x, z))

также является первым интегралом, а из уравнения

V(ϕ1(x, z), . . . , ϕn(x, z)) = const

в предположениях теоремы о неявной функции можно найти общее pешение ДУ.

190 Гл. VII. Уравнения с частными производными первого порядка

Задача Коши ставится следующим образом. Требуется найти интегральную поверхность ДУ, проходящую через заданное гладкое многообразие размерности n − 1. Если проекция этого многообразия на пространство n переменных xi, i = 1, 2, . . . , n, не касается проекции характеристик на это же пространство, то локально задача Коши имеет единственное pешение.

В заключение отметим, что в приложениях играют важную роль также нелинейные ДУ с частными производными, не являющиеся ква-

(c — скорость света) описывает распространение световых лучей в изотропной и однородной среде.

В [16] читатель найдет исследование этого ДУ на основе изучения более общих нелинейных ДУ первого порядка с частными производными.