§2.8 Закон сохранения энергии в механике

В 1018 г.Эмми Нётер, немецкий физик и математик, доказал фундаментальную теорему физики, которую в упрощённом виде можно сформулировать так: каждому свойству симметрии пространства и времени соответствует свой закон сохранения. В частности, как следует из теоремы (теоремы Нётер) однородности времени должен соответствовать закон сохранения энергии: при любых процессах, происходящих в замкнутой консервативной системе, её полная механическая энергия не изменяется.

Элементарная работа потенциальных сил равна взятому с обратным знаком эле­ментарному изменению потенциальной энергии dA= -dE_п . Так как иных сил в системе нет, то та же элементарная работа равна элементарному изменению кинетической энергии dA= dE_к. По­этому можем записать

-dE_п = dE_к

dE_к + dE_п = 0,

d(Е_к + Е_п) = 0. (2.34) Обозначим

Е_к + Е_п = Е (2.35)

здесь Е — полная механическая энергия. Из (2.39) видим, что полная механическая энергия остается постоянной:

E=const (2.36)

При решении задач в механике удобно пользоваться законом сохранения энергии в виде

ΔE_к = ΔE_п или Е_к1 + Е_п1 = Е_к2 + Е_п2. (2.37) здесь Е_к1 и Е_п1, — соответственно кинетическая и потенциальная энергии тела (системы) в начальном положении; Е_к2 и Е_п2 — то же для конечного положения тела (системы).

Закон сохранения энергии в механике является частным случаем более общего закона сохранения и превращения энергии, который является одним из основных законов природы.

В земных условиях невозможно указать консервативную систему, хотя бы потому, что всегда действуют силы трения и сопротивления (диссипативные силы), происходит уменьшение механической энергии (диссипация энергии). В этом случае механическая энергия уже не будет оставаться постоянной; она будет изменяться, и её изменение, как это видно из формулы (2.38) будет складываться из изменения кинетической энергии ΔE_к, и изменения потенциальной энергии ΔE_п :

ΔЕ= ΔE_к,+ ΔE_п.. (2.38)

Учитывая соотношения (2.27) и (2.32), выражающие теорему о кинетической и потенциальной энергиях, последнее равенство можно переписать так:

ΔЕ= А_пот+А_дис-А_пот= А_дис. (2.39)

Изменение полной механической энергии неконсервативной системы равно сумме работы диссипативных сил.

Так как диссипативные силы направлены противоположно перемещению, то работа этих сил отрицательна и, следовательно, механическая энергия системы уменьшается.

§2.9 Столкновение тел

Столкновение тел – одно из наиболее часто встречающихся явлений в жизни. При столкновении происходит их кратковременное взаимодействие, сопровождающееся как деформацией, так и изменением направления их движения. Особый интерес представляют два вида столкновений – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Простейшим видом соударения является центральный удар тел. При этом ударе тела движутся только поступательно, их скорость направлена по прямой, соединяющей центры масс.

Абсолютно неупругий удар. Так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно целое. Например, столкновение слипающихся пластилиновых шариков; попадание ружейной пули в ящик с песком и т.д.

Пусть один из шаров массойm₁ догоняет другой массой m₂ (рис. 2.12).

Можно записать

m₁υ₁+m₂υ₂=(m₁+m₂)υ (2.40)

откуда (2.41)

здесь υ₁ и υ₂ — скорости взаимодействующих шаров до удара; υ — их скорость после удара.

Направления векторов скоростей в общем случае определяются правилом: скорости положительны, если направлены вдоль оси ОХ, и отрицательны, если направлены противоположно.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если массы шаров равны (m₁ = m₂), то из (2.45) получим

(2.42)

2. Удар шара о стенку. Неподвижное тело (стенка) (υ₂ = 0) значительно массивнее шара (m₂ » m₁), тогда

(2.43)

т.е. налетевшее тело остановится после абсолютно неупругого удара, при этом υ₂ считаем не слишком большой.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия шаров не сохраняется, так как в системе действуют диссипативные силы и происходит потеря кинетической энергии, в результате чего механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию ΔЕ сталкивающихся тел (которые при этом нагреваются). Но закон сохранения полной энергии выполняется, т.е. сумма всех видов энергии замкнутой системы тел до и после столкновений остаётся неизменной:

(2.44)

Абсолютно упругий удар. Так называется столкновение тел, в результате которого не происходит соединения тел в одно целое и их внутренние энергии остаются неизменными. При абсолютно упругом ударе сохраняется не только импульс, но и механическая энергия системы.

К абсолютно упругому удару можно применить закон сохранения механической энергии:

(2.45)

где m₁ и m₂ — массы взаимодействующих шаров; υ₁, υ₂ – их скорости до удара; u₁, u₂— после удара.

По тем же причинам, которые были изложены для абсолютно неупругого удара, к этому случаю можно применить и закон сохранения импульса:

m₁υ₁+ m₂υ₂ = m₁ u₁+ m₂ u₂ (2.46)

Решая совместно уравнения (2.49) и (2.50), получим

(2.47)

(2.48)